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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 7 • Geometria
Alex dobrou o quadrado ABCD pela diagonal AC para formar um triângulo. Em seguida, ele dobrou esse triângulo levando o lado BC sobre o lado maior, resultando no triângulo AXC, como mostrado. 
Quanto mede o ângulo $A\hat{X}C$?
Quanto mede o ângulo $A\hat{X}C$?A 108°
B 112,5°
C 120°
D 145°
E 157,5°
Resolução
Para determinar a medida do ângulo $A\hat{X}C$, podemos analisar diretamente os ângulos internos do triângulo $\triangle AXC$:
• Ângulo em $A$ ($\angle XAC$): Como $AC$ é a diagonal do quadrado original, o ângulo $\angle BAC$ (que é o mesmo $\angle XAC$) mede exatamente $45^\circ$.
• Ângulo em $A$ ($\angle XAC$): Como $AC$ é a diagonal do quadrado original, o ângulo $\angle BAC$ (que é o mesmo $\angle XAC$) mede exatamente $45^\circ$.
• Ângulo em $C$ ($\angle ACX$): A dobra leva o lado $BC$ sobre a diagonal $AC$. Isso significa que a linha do vinco $CX$ funciona como a bissetriz do ângulo $\angle BCA$ (que também mede $45^\circ$). Logo, o ângulo $\angle ACX$ é a metade desse valor:$$\angle ACX = \frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ$$Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre $180^\circ$, aplicamos essa regra ao $\triangle AXC$:$$\angle A\hat{X}C + \angle XAC + \angle ACX = 180^\circ$$$$\angle A\hat{X}C + 45^\circ + 22,5^\circ = 180^\circ$$$$\angle A\hat{X}C + 67,5^\circ = 180^\circ$$$$\angle A\hat{X}C = \boxed{112,5^\circ}$$O ângulo $A\hat{X}C$ mede $\boxed{112,5^\circ}$ (ou $112^\circ 30'$).
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