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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 30 • Combinatória
Anastácia quer escrever os números inteiros de 1 a 8 no quadriculado 2x4 ao lado. O número em cada casa do quadriculado deve ser menor do que o número na casa logo à direita e menor do que o número na casa logo abaixo. 
De quantas maneiras diferentes Anastácia pode preencher o quadriculado com os números?
De quantas maneiras diferentes Anastácia pode preencher o quadriculado com os números?A 6
B 8
C 10
D 12
E 14
Resolução
1. Relação com os Números de Catalan: Esse problema segue a regra de preenchimento de uma tabela padrão de Young de formato $2 \times 4$, cuja quantidade de soluções é dada pelo 4º número de Catalan ($C_4$).
2. Fórmula: $$C_4 = \frac{1}{4 + 1} \binom{2 \times 4}{4} = \frac{1}{5} \binom{8}{4}$$
3. Cálculo: $$\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$$$\text{Maneiras} = \frac{70}{5} = \boxed{14}$$Anastácia pode preencher o quadriculado de $\boxed{\text{14 maneiras diferentes}}$.
2. Fórmula: $$C_4 = \frac{1}{4 + 1} \binom{2 \times 4}{4} = \frac{1}{5} \binom{8}{4}$$
3. Cálculo: $$\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$$$\text{Maneiras} = \frac{70}{5} = \boxed{14}$$Anastácia pode preencher o quadriculado de $\boxed{\text{14 maneiras diferentes}}$.
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