Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 13 • Álgebra
Kátia e Tom comemoram hoje os seus aniversários. Tom observa que $\large \frac{1}{19}$ da idade de Kátia é igual a $\large \frac{1}{17}$ da idade dele. A soma das suas idades é maior do que 40 e menor do que 100. Qual é a idade de Kátia?
A 19
B 34
C 38
D 57
E 76
Resolução
Sejam $K$ a idade de Kátia e $T$ a idade de Tom. De acordo com a observação feita no enunciado, podemos estabelecer a seguinte relação de igualdade entre as frações de suas idades: $\large \frac{K}{19} = \frac{T}{17}$.
Como as idades em problemas de lógica matemática são números inteiros positivos, essa proporção nos mostra que a idade de Kátia deve ser um múltiplo de 19 ($K = 19x$) e a idade de Tom deve ser um múltiplo de 17 ($T = 17x$), para um mesmo número inteiro $x$. Ao somarmos as duas idades, expressamos o total como $19x + 17x = 36x$, indicando que a soma das idades deles é obrigatoriamente um múltiplo de 36.
O problema estipula que a soma dessas idades é maior do que 40 e menor do que 100 ($40 < 36x < 100$). Analisando a tabuada do 36, o único múltiplo que se enquadra perfeitamente dentro desse intervalo é o 72 (já que $36 \times 1 = 36$ e $36 \times 3 = 108$). Isso nos dá a certeza de que a constante de proporcionalidade $x$ vale exatamente 2.
Agora que descobrimos o valor de $x$, basta substituí-lo na fórmula da idade de Kátia para encontrar a resposta final. Realizando o cálculo $19 \times 2$, concluímos que a idade de Kátia é de $\boxed{\text{38 anos}}$.
Como as idades em problemas de lógica matemática são números inteiros positivos, essa proporção nos mostra que a idade de Kátia deve ser um múltiplo de 19 ($K = 19x$) e a idade de Tom deve ser um múltiplo de 17 ($T = 17x$), para um mesmo número inteiro $x$. Ao somarmos as duas idades, expressamos o total como $19x + 17x = 36x$, indicando que a soma das idades deles é obrigatoriamente um múltiplo de 36.
O problema estipula que a soma dessas idades é maior do que 40 e menor do que 100 ($40 < 36x < 100$). Analisando a tabuada do 36, o único múltiplo que se enquadra perfeitamente dentro desse intervalo é o 72 (já que $36 \times 1 = 36$ e $36 \times 3 = 108$). Isso nos dá a certeza de que a constante de proporcionalidade $x$ vale exatamente 2.
Agora que descobrimos o valor de $x$, basta substituí-lo na fórmula da idade de Kátia para encontrar a resposta final. Realizando o cálculo $19 \times 2$, concluímos que a idade de Kátia é de $\boxed{\text{38 anos}}$.
MateBásica