CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)

Para determinar a área do retângulo $ABCD$, podemos usar a semelhança de triângulos de forma bem direta:

Sejam $x$ e $y$ os lados de cada um dos retângulos sombreados menores. Como a área de cada um é 4, temos que $x \cdot y = 4$.

1. Análise dos Segmentos

• No retângulo em pé da esquerda: o lado vertical é $AD = y$ e o lado horizontal no topo é $DE = x$.

• No retângulo inclinado da direita: o segmento $EC$ funciona como a sua diagonal. Seja $F$ o vértice inferior desse retângulo que toca a diagonal $AC$ do retângulo maior. Os lados desse triângulo retângulo são $EF = x$ e $FC = y$.

2. Semelhança de Triângulos

Os triângulos retângulos $\triangle EFC$ e $\triangle ADC$ compartilham exatamente o mesmo ângulo no vértice $C$ e ambos possuem um ângulo de $90^\circ$ $(\angle EFC = \angle ADC = 90^\circ)$. Portanto, eles são semelhantes $(\triangle EFC \sim \triangle ADC)$:$$\frac{EF}{FC} = \frac{AD}{DC} \implies \frac{x}{y} = \frac{y}{DC} \implies DC = \frac{y^2}{x}$$ Como $EC$ é a diagonal de um retângulo de lados $x$ e $y$, seu comprimento é $EC = \sqrt{x^2+y^2}$. Sabendo que $DC = DE + EC$, temos:$$x + \sqrt{x^2+y^2} = \frac{y^2}{x}$$ Resolvendo essa relação geométrica, encontramos que $y = x\sqrt{3}$ $($o que significa que o ângulo em $C$ é de $30^\circ)$.

3. Cálculo da Área Total

Substituindo $y = x\sqrt{3}$ na medida do comprimento total $DC$:$$EC = \sqrt{x^2 + (x\sqrt{3})^2} = 2x$$$$DC = DE + EC = x + 2x = 3x$$Agora, calculamos a área do retângulo $ABCD$ multiplicando sua altura pela sua base:$$\text{Área} = AD \cdot DC = y \cdot 3x = 3(xy)$$Como já sabíamos que $xy = 4$:$$\text{Área} = 3 \cdot 4 = \boxed{12}$$A área do retângulo $ABCD$ é $\boxed{12}$.