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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 24 • Geometria
Na figura, o diâmetro do círculo de dentro faz parte do diâmetro do círculo de fora. O círculo de fora tem uma corda de comprimento 16, que é paralela ao diâmetro indicado e tangente ao círculo de dentro. 
Qual é a área da região sombreada na figura?
Qual é a área da região sombreada na figura?A 36π
B 49π
C 64π
D 81π
E Impossível descobrir.
Resolução
Sejam ${R}$ o raio do círculo externo e $r$ o raio do círculo interno. A área da região sombreada é dada pela diferença entre as duas áreas:$$A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$$Como a corda de comprimento 16 é vertical (paralela ao diâmetro) e tangente ao círculo interno, a distância entre essa corda e a linha central do diâmetro é exatamente igual ao raio menor, $r$. Se traçarmos o raio ${R}$ do círculo maior até uma das extremidades da corda, formamos um triângulo retângulo onde:
• A hipotenusa é o raio maior $R$.
• A hipotenusa é o raio maior $R$.
• Um dos catetos é a distância da corda ao centro ($r$).
• O outro cateto é a metade do comprimento da corda ($\frac{16}{2} = 8$).
Aplicando o Teorema de Pitágoras:$$r^2 + 8^2 = R^2 \implies R^2 - r^2 = 64$$Substituindo esse resultado na fórmula da área sombreada, obtemos:$$A = \boxed{64\pi}$$A área da região sombreada é $\boxed{64\pi}.$
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