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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 15 • Combinatória
Sara tem uma bolsa com 18 bolinhas, numeradas de 1 a 18. Qual é a menor quantidade de bolinhas que Sara deve tirar da bolsa sem olhar, para ter a certeza de que 3 bolinhas tenham números primos?
A 11
B 12
C 13
D 14
E 15
Resolução
Para resolver esse problema, devemos considerar o pior cenário possível (o princípio da casa dos pombos), ou seja, a situação em que Sara tem o azar de puxar o máximo de bolinhas que não são primas antes de conseguir as que precisa.
Primeiro, vamos identificar quais números de 1 a 18 são primos e quais não são:
• Números primos (7 no total): 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17.
Primeiro, vamos identificar quais números de 1 a 18 são primos e quais não são:
• Números primos (7 no total): 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17.
• Números não primos (11 no total): 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 e 18.
No pior caso imaginável, Sara vai tirar todas as 11 bolinhas que não são primas de forma seguida.Depois de ter retirado essas 11 bolinhas, na sacola restarão apenas as 7 bolinhas com números primos. A partir desse momento, qualquer bolinha que ela retirar será, com certeza, um número primo. Como ela precisa de 3 bolinhas primas, basta retirar mais 3.
Somando os dois passos do pior cenário: $$11 \text{ (não primas)} + 3 \text{ (primas)} = \boxed{14}$$Portanto, Sara deve tirar no mínimo $\boxed{\text{14 bolinhas}}$ para ter a certeza absoluta de que pelo menos 3 delas terão números primos.
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