Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 19 • Aritmética
O produto de três números primos é igual a 11 vezes a soma desses números. Qual é o maior valor possível para essa soma?
A 14
B 17
C 21
D 25
E 26
Resolução
Sejam $p$, $q$ e $r$ os três números primos. O enunciado nos dá a equação:$$p \cdot q \cdot r = 11 \cdot (p + q + r)$$Como 11 é um número primo e divide o lado direito, ele obrigatoriamente deve ser um dos fatores do lado esquerdo. Vamos definir $p = 11$. Substituindo e simplificando a equação:$$11 \cdot q \cdot r = 11 \cdot (11 + q + r)$$$$q \cdot r = 11 + q + r$$Isolando os termos e fatorando a expressão:$$q \cdot r - q - r = 11$$$$(q - 1)(r - 1) - 1 = 11$$$$(q - 1)(r - 1) = 12$$Agora, buscamos os pares de fatores inteiros de 12 para encontrar valores de $q$ e $r$ que também sejam primos:
• Caso 1: $(q - 1) = 1 \implies q = 2$ e $(r - 1) = 12 \implies r = 13$ (ambos são primos). Soma: $11 + 2 + 13 = \mathbf{26}$
• Caso 1: $(q - 1) = 1 \implies q = 2$ e $(r - 1) = 12 \implies r = 13$ (ambos são primos). Soma: $11 + 2 + 13 = \mathbf{26}$
• Caso 2: $(q - 1) = 2 \implies q = 3$ e $(r - 1) = 6 \implies r = 7$ (ambos são primos). Soma: $11 + 3 + 7 = \mathbf{21}$
• Caso 3: $(q - 1) = 3 \implies q = 4$ (não é primo).
O maior valor possível para essa soma é $\boxed{26}$.
MateBásica