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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 7 • Geometria
João faz uma sequência de estruturas sobre uma mesa. Ele começa com um cubo e monta a segunda estrutura da sequência adicionando 5 cubos que escondem as faces visíveis do cubo inicial, como mostrado. Qual é o menor número de cubos que João deve adicionar à segunda estrutura para esconder todas as suas faces visíveis? 
A 8
B 9
C 10
D 13
E 19
Resolução
Primeiramente, precisamos determinar a quantidade de faces visíveis na segunda estrutura e encontrar a forma mais eficiente de cobri-las com o menor número possível de cubos. A segunda estrutura é composta por um cubo central (que está com as faces laterais e superior totalmente cobertas) e mais 5 cubos ao seu redor. O cubo do topo possui 5 faces visíveis, enquanto os 4 cubos laterais possuem 4 faces visíveis cada um, já que suas faces inferiores estão apoiadas sobre a mesa e não contam como visíveis. Isso resulta em um total de 21 faces expostas que precisam ser escondidas.
Para minimizar a quantidade de cubos adicionados, devemos posicioná-los estrategicamente em locais onde um único cubo novo consiga cobrir duas faces visíveis ao mesmo tempo, aproveitando os cantos e os encontros de blocos da estrutura atual.
Dividindo a contagem por posições, precisamos de 1 cubo bem no topo para cobrir a face superior mais alta. Ao redor desse bloco do topo, colocamos 4 cubos elevados nos vãos, onde cada um esconde ao mesmo tempo uma face lateral do topo e a face superior de um bloco lateral. No nível da mesa, colocamos 4 cubos nos cantos internos da cruz, permitindo que cada um esconda duas faces laterais de blocos adjacentes, e finalmente mais 4 cubos nas pontas externas para cobrir as últimas faces restantes das extremidades. Somando todos esses blocos necessários, obtemos $1 + 4 + 4 + 4 = \boxed{13}$. Portanto, o menor número de cubos que João deve adicionar é $\boxed{13}$.
Para minimizar a quantidade de cubos adicionados, devemos posicioná-los estrategicamente em locais onde um único cubo novo consiga cobrir duas faces visíveis ao mesmo tempo, aproveitando os cantos e os encontros de blocos da estrutura atual.
Dividindo a contagem por posições, precisamos de 1 cubo bem no topo para cobrir a face superior mais alta. Ao redor desse bloco do topo, colocamos 4 cubos elevados nos vãos, onde cada um esconde ao mesmo tempo uma face lateral do topo e a face superior de um bloco lateral. No nível da mesa, colocamos 4 cubos nos cantos internos da cruz, permitindo que cada um esconda duas faces laterais de blocos adjacentes, e finalmente mais 4 cubos nas pontas externas para cobrir as últimas faces restantes das extremidades. Somando todos esses blocos necessários, obtemos $1 + 4 + 4 + 4 = \boxed{13}$. Portanto, o menor número de cubos que João deve adicionar é $\boxed{13}$.
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