CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)

Para resolver o problema, dividimos as 12 crianças em dois grupos: os 3 pares de gêmeos (6 crianças) e as 6 crianças restantes (não gêmeas). Como cada par de gêmeos deve receber a mesma cor, analisamos os cenários com base em quantos pares de gêmeos recebem chapéus azuis ($k$):

Observação: Para esse exercício, usamos a fórmula de uma combinação simples. Por exemplo: $$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$$ 1. Cenário 1: 0 pares de gêmeos com azul (gêmeos usam 0 azuis e 6 vermelhos)

• Escolha dos gêmeos: $\binom{3}{0} = 1$ maneira

• Restam 6 azuis para as 6 crianças não gêmeas: $\binom{6}{6} = 1$ maneira

• Total: $1 \times 1 = 1$

2. Cenário 2: 1 par de gêmeos com azul (gêmeos usam 2 azuis e 4 vermelhos)

• Escolha dos gêmeos: $\binom{3}{1} = 3$ maneiras

• Restam 4 azuis para as 6 crianças não gêmeas: $\binom{6}{4} = 15$ maneiras

• Total: $3 \times 15 = 45$

3. Cenário 3: 2 pares de gêmeos com azul (gêmeos usam 4 azuis e 2 vermelhos)

• Escolha dos gêmeos: $\binom{3}{2} = 3$ maneiras

• Restam 2 azuis para as 6 crianças não gêmeas: $\binom{6}{2} = 15$ maneiras

• Total: $3 \times 15 = 45$

4. Cenário 4: 3 pares de gêmeos com azul (gêmeos usam 6 azuis e 0 vermelhos)

• Escolha dos gêmeos: $\binom{3}{3} = 1$ maneira

• Restam 0 azuis para as 6 crianças não gêmeas: $\binom{6}{0} = 1$ maneira

• Total: $1 \times 1 = 1$

Somando todas as possibilidades: $$1 + 45 + 45 + 1 = \boxed{92}$$É possível distribuir os chapéus de $\boxed{92}$ maneiras diferentes.