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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 28 • Geometria
Numa circunferência, existem 20 pontos igualmente espaçados. Davi traça todos os possíveis segmentos de reta ligando 2 desses pontos. Quantos desses segmentos são maiores do que o raio e menores do que o diâmetro dessa circunferência?
A 90
B 100
C 120
D 140
E 160
Resolução
Para resolver o problema, podemos analisar o comprimento dos segmentos de reta com base na distância em passos ou arcos entre os pontos na circunferência. Como existem 20 pontos igualmente espaçados, a circunferência completa é dividida em 20 partes iguais, o que significa que o menor arco entre dois pontos vizinhos corresponde a um ângulo central de $\large \frac{360°}{20} = 18°$. O comprimento de qualquer corda que conecta dois pontos separados por $k$ passos é dado pela fórmula trigonométrica $L = 2R \cdot \sin(k \cdot 9°)$, onde ${R}$ é o raio e $k$ varia de 1 a 10.
Queremos encontrar os segmentos cujo comprimento seja maior que o raio e menor que o diâmetro. Isso se traduz na desigualdade $R < 2R \cdot \sin(k \cdot 9°) < 2{R}$, que simplificando nos dá $0,5 < \sin(k \cdot 9°) < 1$. Testando os valores de $k$, vemos que para $k = 1, 2$ ou $3$, o seno é menor do que 0,5, pois $\sin(30°) = 0,5$ e $3 \cdot 9° = 27°$. Para $k = 10$, temos $\sin(90°) = 1$, que representa o diâmetro exato. Portanto, as distâncias em passos que atendem à condição do problema são $k = 4, 5, 6, 7, 8$ e $9$, totalizando 6 distâncias distintas.
Como cada uma dessas 6 distâncias válidas gera exatamente 20 segmentos de reta diferentes ao redor da circunferência, basta multiplicarmos o número de distâncias permitidas pela quantidade de segmentos formados por cada uma delas. Realizando o cálculo final $6 \cdot 20$, descobrimos que existem $\boxed{120}$ segmentos que são maiores do que o raio e menores do que o diâmetro.
Queremos encontrar os segmentos cujo comprimento seja maior que o raio e menor que o diâmetro. Isso se traduz na desigualdade $R < 2R \cdot \sin(k \cdot 9°) < 2{R}$, que simplificando nos dá $0,5 < \sin(k \cdot 9°) < 1$. Testando os valores de $k$, vemos que para $k = 1, 2$ ou $3$, o seno é menor do que 0,5, pois $\sin(30°) = 0,5$ e $3 \cdot 9° = 27°$. Para $k = 10$, temos $\sin(90°) = 1$, que representa o diâmetro exato. Portanto, as distâncias em passos que atendem à condição do problema são $k = 4, 5, 6, 7, 8$ e $9$, totalizando 6 distâncias distintas.
Como cada uma dessas 6 distâncias válidas gera exatamente 20 segmentos de reta diferentes ao redor da circunferência, basta multiplicarmos o número de distâncias permitidas pela quantidade de segmentos formados por cada uma delas. Realizando o cálculo final $6 \cdot 20$, descobrimos que existem $\boxed{120}$ segmentos que são maiores do que o raio e menores do que o diâmetro.
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