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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 27 • Aritmética
Um número inteiro de quatro dígitos ABCD foi multiplicado pelo seu dígito das unidades D. O resultado é um número inteiro diferente do inicial e de quatro dígitos, DXYA, que tem o dígito das unidades e o dígito dos milhares trocados em relação ao número inicial. Quantos números inteiros de quatro dígitos ABCD têm essa propriedade?
A 1
B 2
C 9
D 10
E 11
Resolução
Para que o produto de um número de quatro dígitos $ABCD$ por $D$ resulte em um número de quatro dígitos $DXYA$:
1. Determinar $A$: O primeiro dígito do produto é $D$. Como $ABCD \times D \approx A \times D \times 1000$, devemos ter $A \times D \le D$, o que nos dá $A = 1$ (já que $A \neq 0$).
1. Determinar $A$: O primeiro dígito do produto é $D$. Como $ABCD \times D \approx A \times D \times 1000$, devemos ter $A \times D \le D$, o que nos dá $A = 1$ (já que $A \neq 0$).
2. Determinar $D$: O último dígito do produto é $A = 1$, logo $D \times D$ deve terminar em 1. Como o resultado é diferente do inicial, $D \neq 1$, restando apenas $D = 9$.
A equação fica: $$1BC9 \times 9 = 9XY1$$Como o resultado deve ter 4 dígitos começando com 9, o produto máximo permitido é 9991. Dividindo por 9, temos a condição de que $1BC9 \le 1111$.
Analisando as possibilidades para $B$ e $C$:
• Se $B = 0$: O número $10C9$ sempre será menor que 1111 para qualquer valor de $C$. Isso gera 10 soluções ($C$ de 0 a 9).
• Se $B = 1$: O número $11C9 \le 1111$ só é válido se $C = 0$ ($1109 \times 9 = 9981$). Isso gera 1 solução.
No total, existem 10 + 1 = $\boxed{11}$ números inteiros que possuem essa propriedade.
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