CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)

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Questão 26 • Aritmética

Seis círculos foram posicionados como mostrado. João escreve os números inteiros de 1 a 6 nos círculos, de modo que a soma dos números nos círculos das três laterais seja a mesma. Em seguida, ele calcula a soma dos números nos três círculos dos cantos da figura. Imagem de apoio da questão

Quantos valores diferentes João pode obter para essa soma?

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

Resolução

A soma de todos os números de 1 a 6 é igual a $21$ ($1+2+3+4+5+6 = 21$). Seja $C$ a soma dos três cantos e $S$ a soma de cada uma das três laterais. Como cada canto pertence a duas laterais ao mesmo tempo, ao somarmos as três linhas, os cantos são contados duas vezes:$$3S = 21 + C \implies C = 3S - 21$$Como $3S$ e $21$ são múltiplos de 3, a soma dos cantos $C$ também deve ser obrigatoriamente um múltiplo de 3.Determinando os limites para $C$:

• Valor mínimo: $1 + 2 + 3 = 6$

• Valor máximo: $4 + 5 + 6 = 15$

Os múltiplos de 3 possíveis nesse intervalo são: 6, 9, 12 e 15 (todos possuem configurações válidas). Portanto, João pode obter $\boxed{4}$ valores diferentes para essa soma.

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