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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 23 • Aritmética
O número inteiro ABCDEF é formado por seis dígitos distintos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6, não necessariamente nessa ordem. Os dois primeiros dígitos formam um número AB múltiplo de 2, os três primeiros formam um número ABC múltiplo de 3, os quatro primeiros formam um número ABCD múltiplo de 4, os cinco primeiros formam um número ABCDE múltiplo de 5 e o número ABCDEF é múltiplo de 6. Qual é o dígito F?
A 2
B 4
C 6
D 2 e 4 são possíveis.
E 4 e 6 são possíveis.
Resolução
Vamos analisar as condições passo a passo para descobrir o valor de $F$:
1. Dígito E: Como $ABCDE$ é múltiplo de 5, o dígito $E$ deve ser 0 ou 5. Como os dígitos disponíveis são de 1 a 6, temos $E = 5$.
2. Posições dos Pares e Ímpares: Os números $AB$, $ABCD$ e $ABCDEF$ são pares. Logo, os dígitos nas posições pares ($B$, $D$ e $F$) devem ser pares: ${2, 4, 6}$. Consequentemente, as posições ímpares ($A$, $C$ e $E$) contêm os dígitos ímpares: ${1, 3, 5}$. Como $E=5$, temos que ${A, C} = {1, 3}$.
3. Dígito B: Para $ABC$ ser múltiplo de 3, a soma $A + B + C$ deve ser múltipla de 3. Sabemos que $A + C = 1 + 3 = 4$. Assim, $4 + B$ deve ser múltiplo de 3. Dos dígitos pares restantes, o único que serve é $B = 2$ (pois $4 + 2 = 6$).
4. Dígito D: Para $ABCD$ ser múltiplo de 4, o número de dois dígitos $CD$ deve ser divisível por 4. Como $C$ pode ser 1 ou 3, testamos os pares restantes (${4, 6}$):
• Se $C=1$: 14 (não) e 16 (sim).
1. Dígito E: Como $ABCDE$ é múltiplo de 5, o dígito $E$ deve ser 0 ou 5. Como os dígitos disponíveis são de 1 a 6, temos $E = 5$.
2. Posições dos Pares e Ímpares: Os números $AB$, $ABCD$ e $ABCDEF$ são pares. Logo, os dígitos nas posições pares ($B$, $D$ e $F$) devem ser pares: ${2, 4, 6}$. Consequentemente, as posições ímpares ($A$, $C$ e $E$) contêm os dígitos ímpares: ${1, 3, 5}$. Como $E=5$, temos que ${A, C} = {1, 3}$.
3. Dígito B: Para $ABC$ ser múltiplo de 3, a soma $A + B + C$ deve ser múltipla de 3. Sabemos que $A + C = 1 + 3 = 4$. Assim, $4 + B$ deve ser múltiplo de 3. Dos dígitos pares restantes, o único que serve é $B = 2$ (pois $4 + 2 = 6$).
4. Dígito D: Para $ABCD$ ser múltiplo de 4, o número de dois dígitos $CD$ deve ser divisível por 4. Como $C$ pode ser 1 ou 3, testamos os pares restantes (${4, 6}$):
• Se $C=1$: 14 (não) e 16 (sim).
• Se $C=3$: 34 (não) e 36 (sim).
• Portanto, em ambos os casos, $D = 6$.
Como os dígitos pares são ${2, 4, 6}$ e já descobrimos que $B = 2$ e $D = 6$, o dígito restante para a última posição é o 4. O dígito F é $\boxed{4}$.
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