CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)

Se o número $N$ não terminasse com o algarismo 9, a soma dos dígitos de $N+1$ seria exatamente uma unidade maior do que a de $N$, o que resultaria na equação impossível $S(N) = 3(S(N) + 1)$. Portanto, $N$ obrigatoriamente deve terminar em uma quantidade $k$ de algarismos 9. Ao somarmos 1 a um número com essa configuração, esses $k$ noves transformam-se em zeros e o algarismo imediatamente à esquerda é incrementado em 1, gerando uma redução líquida na soma dos dígitos dada pela relação $S(N) - S(N+1) = 9k - 1$.

Substituindo a condição do enunciado, $S(N) = 3S(N+1)$, na equação da diferença entre as somas, obtemos $3S(N+1) - S(N+1) = 9k - 1$, que se simplifica para $2S(N+1) = 9k - 1$. Para minimizar a soma dos dígitos de $N$, devemos encontrar o menor valor inteiro positivo para $k$ que torne o termo $9k - 1$ um número par. Escolhendo o menor valor ímpar possível, que é $k = 1$, a equação resulta em $2S(N+1) = 8$, determinando que a soma dos dígitos de $N+1$ deve ser igual a 4.

Multiplicando esse resultado por três, conforme a exigência do problema, concluímos que a menor soma possível dos dígitos do número $N$ é igual a $\boxed{12}$. Essa solução pode ser facilmente verificada com o número $N = 39$, cuja soma dos dígitos é $3 + 9 = 12$, enquanto seu sucessor $N+1 = 40$ possui uma soma de dígitos igual a $4$, validando perfeitamente a proporção de três para um.