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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 20 • Geometria
Sejam a e b os números de pontos nas faces de um dado que apareceram voltadas para cima nas duas vezes em que o dado foi rolado. Os números de pontos nas faces vão de 1 a 6. A partir desses números, foi montada a reta y = ax + b Para quantos pares (a; b), o triângulo formado pela reta e pelos eixos coordenados é isósceles?
A 1
B 2
C 3
D 6
E 12
Resolução
A reta $y = ax + b$ intercepta o eixo y no ponto $(0, b)$ e o eixo x no ponto $(- \large \frac{b}{a}, 0)$. Como os eixos coordenados são perpendiculares entre si, o triângulo formado por essas interceptações e pela origem $(0,0)$ é obrigatoriamente um triângulo retângulo.
Para que um triângulo retângulo seja isósceles, os seus dois catetos devem ter o mesmo comprimento. Os comprimentos desses catetos correspondem às distâncias da origem até os pontos de corte nos eixos, que são dadas por $b$ e $\large \frac{b}{a}$, já que $a$ e $b$ são valores positivos de 1 a 6.
Igualando as duas medidas, obtemos a equação $b = \large \frac{b}{a}$. Como o valor de $b$ nunca é zero, podemos simplificar a igualdade dividindo ambos os lados por $b$, o que nos dá $a = 1$. Sabendo que $a$ deve ser igual a 1, o valor de $b$ pode ser qualquer um dos 6 números do dado, totalizando $\boxed{6}$ pares possíveis: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) e (1, 6).
Para que um triângulo retângulo seja isósceles, os seus dois catetos devem ter o mesmo comprimento. Os comprimentos desses catetos correspondem às distâncias da origem até os pontos de corte nos eixos, que são dadas por $b$ e $\large \frac{b}{a}$, já que $a$ e $b$ são valores positivos de 1 a 6.
Igualando as duas medidas, obtemos a equação $b = \large \frac{b}{a}$. Como o valor de $b$ nunca é zero, podemos simplificar a igualdade dividindo ambos os lados por $b$, o que nos dá $a = 1$. Sabendo que $a$ deve ser igual a 1, o valor de $b$ pode ser qualquer um dos 6 números do dado, totalizando $\boxed{6}$ pares possíveis: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) e (1, 6).
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