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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 2 • Geometria
A base de um triângulo vai aumentar em 50% e a sua altura vai diminuir em um terço. Qual será a razão entre a área do novo triângulo e a área do triângulo original?
A 2:1
B 1:1
C 1:2
D 1:3
E 1:4
Resolução
Seja $b$ a base original e $h$ a altura original do triângulo. A área original da figura é dada pela fórmula clássica $A_{\text{original}} = \large \frac{b \cdot h}{2}$.
O enunciado diz que a base vai aumentar em 50%, ou seja, a nova base será $b_{\text{nova}} = 1,5b = \large \frac{3}{2}b$. Já a altura vai diminuir em um terço, o que significa que a nova altura passará a ser $h_{\text{nova}} = h - \large \frac{1}{3}h = \frac{2}{3}h$.
Substituindo esses novos valores na fórmula, calculamos a área do novo triângulo: $A_{\text{nova}} = \large \frac{\left(\frac{3}{2}b\right) \cdot \left(\frac{2}{3}h\right)}{2}$. Ao multiplicarmos as frações da base e da altura, os termos se cancelam perfeitamente, já que $\large \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $= 1$. Assim, a nova área simplifica-se para $A_{\text{nova}} = \large \frac{b \cdot h}{2}$, que é idêntica à área inicial.
Como a área do novo triângulo é exatamente igual à área do triângulo original, a razão entre elas é igual a 1 $(\boxed{1:1})$. Curiosamente, o aumento de espaço na base e a redução na altura se compensaram, mantendo a medida da superfície totalmente inalterada.
O enunciado diz que a base vai aumentar em 50%, ou seja, a nova base será $b_{\text{nova}} = 1,5b = \large \frac{3}{2}b$. Já a altura vai diminuir em um terço, o que significa que a nova altura passará a ser $h_{\text{nova}} = h - \large \frac{1}{3}h = \frac{2}{3}h$.
Substituindo esses novos valores na fórmula, calculamos a área do novo triângulo: $A_{\text{nova}} = \large \frac{\left(\frac{3}{2}b\right) \cdot \left(\frac{2}{3}h\right)}{2}$. Ao multiplicarmos as frações da base e da altura, os termos se cancelam perfeitamente, já que $\large \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $= 1$. Assim, a nova área simplifica-se para $A_{\text{nova}} = \large \frac{b \cdot h}{2}$, que é idêntica à área inicial.
Como a área do novo triângulo é exatamente igual à área do triângulo original, a razão entre elas é igual a 1 $(\boxed{1:1})$. Curiosamente, o aumento de espaço na base e a redução na altura se compensaram, mantendo a medida da superfície totalmente inalterada.
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