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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 2 • Geometria
A soma do número de pontos em faces opostas no dado da figura é 7. Nesse dado, o vértice P é comum às faces com 1, 2 e 3 pontos. Dizemos que a soma de um vértice é a soma do número de pontos nas faces que têm esse vértice comum. Por exemplo, a soma do vértice P é 1 + 2 + 3 = 6. Qual é o maior valor dentre as somas dos vértices Q, R e S? 
A 7
B 9
C 10
D 11
E 15
Resolução
Para determinar as somas dos vértices Q, R e S, primeiro identificamos os valores de todas as faces do dado. Sabemos que a soma das faces opostas é sempre igual a 7. Como as três faces visíveis que se encontram no vértice P possuem os valores 1 (face superior), 2 (face frontal esquerda) e 3 (face frontal direita), podemos deduzir os valores das três faces ocultas: a face inferior (oposta à de 1) vale 6, a face traseira direita (oposta à de 2) vale 5 e a face traseira esquerda (oposta à de 3) vale 4.
Agora, analisamos quais faces se encontram em cada um dos outros vértices para calcular suas respectivas somas. O vértice Q conecta as faces superior (1), frontal direita (3) e traseira direita (5), resultando na soma $1 + 3 + 5 = 9$. O vértice S conecta as faces superior (1), frontal esquerda (2) e traseira esquerda (4), totalizando a soma $1 + 2 + 4 = 7$. Por fim, o vértice R conecta as faces frontal esquerda (2), frontal direita (3) e a face inferior (6), o que gera a soma $2 + 3 + 6 = 11$.
Comparando os três resultados obtidos, vemos que as somas são 9, 7 e 11. Portanto, o maior valor dentre as somas dos vértices Q, R e S é $\boxed{11}$.
Agora, analisamos quais faces se encontram em cada um dos outros vértices para calcular suas respectivas somas. O vértice Q conecta as faces superior (1), frontal direita (3) e traseira direita (5), resultando na soma $1 + 3 + 5 = 9$. O vértice S conecta as faces superior (1), frontal esquerda (2) e traseira esquerda (4), totalizando a soma $1 + 2 + 4 = 7$. Por fim, o vértice R conecta as faces frontal esquerda (2), frontal direita (3) e a face inferior (6), o que gera a soma $2 + 3 + 6 = 11$.
Comparando os três resultados obtidos, vemos que as somas são 9, 7 e 11. Portanto, o maior valor dentre as somas dos vértices Q, R e S é $\boxed{11}$.
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