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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 19 • Combinatória
Cristina tem um conjunto de doze fichas numeradas de 1 a 12. Ela colocou uma ficha em cada um dos oito vértices de um octógono, de tal forma que a soma dos números nas extremidades de qualquer lado do octógono seja múltipla de 3. Quais números ela NÃO usou para colocar no octógono?
A 1, 5, 9, 12
B 3, 5, 7, 9
C 1, 2, 11, 12
D 5, 6, 7, 8
E 3, 6, 9, 12
Resolução
Para resolver este problema, podemos analisar o comportamento dos números de 1 a 12 com base nos seus restos quando divididos por 3, separando-os em três grupos distintos: os múltiplos de 3, que deixam resto 0 ($3, 6, 9, 12$); os que deixam resto 1 ($1, 4, 7, 10$); e os que deixam resto 2 ($2, 5, 8, 11$). A condição de que a soma dos números nas extremidades de qualquer lado do octógono seja um múltiplo de 3 impõe regras estritas de vizinhança: um número com resto 0 só pode ficar ao lado de outro número com resto 0 (pois $0 + 0 = 0$), enquanto um número com resto 1 deve, obrigatoriamente, alternar com um número com resto 2 (pois $1 + 2 = 3 \equiv 0$).
Se Cristina tentasse utilizar qualquer ficha múltipla de 3 (resto 0) em um dos vértices do octógono, seus dois vizinhos imediatos também teriam que ser múltiplos de 3, criando um efeito em cadeia que exigiria que todos os 8 vértices fossem preenchidos por números do grupo com resto 0. Como existem apenas 4 fichas disponíveis desse tipo no conjunto completo, é matematicamente impossível completar o ciclo de 8 vértices utilizando-as, o que prova que nenhuma ficha múltipla de 3 pode fazer parte do octógono.
Desse modo, os 8 vértices do octógono precisam ser ocupados exatamente pelas 8 fichas restantes, organizadas em uma sequência que alterna perfeitamente entre os 4 números de resto 1 e os 4 números de resto 2 ao longo de todo o perímetro da figura. Consequentemente, os números que ela NÃO usou para colocar no octógono são justamente as quatro fichas com resto zero, ou seja, os números $\boxed{\text{3, 6, 9 e 12}}.$
Se Cristina tentasse utilizar qualquer ficha múltipla de 3 (resto 0) em um dos vértices do octógono, seus dois vizinhos imediatos também teriam que ser múltiplos de 3, criando um efeito em cadeia que exigiria que todos os 8 vértices fossem preenchidos por números do grupo com resto 0. Como existem apenas 4 fichas disponíveis desse tipo no conjunto completo, é matematicamente impossível completar o ciclo de 8 vértices utilizando-as, o que prova que nenhuma ficha múltipla de 3 pode fazer parte do octógono.
Desse modo, os 8 vértices do octógono precisam ser ocupados exatamente pelas 8 fichas restantes, organizadas em uma sequência que alterna perfeitamente entre os 4 números de resto 1 e os 4 números de resto 2 ao longo de todo o perímetro da figura. Consequentemente, os números que ela NÃO usou para colocar no octógono são justamente as quatro fichas com resto zero, ou seja, os números $\boxed{\text{3, 6, 9 e 12}}.$
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