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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 18 • Geometria
Felipe tem n3 cubinhos iguais, sendo n > 2. Ele usou todos os seus cubinhos para construir um cubo maior e pintou todas as faces do cubo maior. O número de cubinhos que tiveram somente uma face pintada é igual ao número de cubinhos que não tiveram face alguma pintada. Qual é o valor de n?
A 4
B 6
C 7
D 8
E 10
Resolução
Ao construirmos um cubo maior utilizando $n^3$ cubinhos e pintarmos todas as suas faces externas, os cubinhos que ficam completamente sem pintura são aqueles localizados em seu miolo central, formando um cubo menor interno de dimensões $(n-2) \times (n-2) \times (n-2)$, o que totaliza $(n-2)^3$ unidades. Paralelamente, os cubinhos que terminam com apenas uma face pintada situam-se exclusivamente no centro de cada uma das 6 faces externas do cubo maior, dispostos em uma área quadrada de $(n-2) \times (n-2)$ por face, totalizando $6(n-2)^2$ cubinhos.
De acordo com o problema, essas duas quantidades de cubinhos são iguais, estabelecendo a igualdade algébrica $(n-2)^3 = 6(n-2)^2$. Dado que a restrição do enunciado define $n > 2$, temos a garantia de que o termo $(n-2)$ é maior que zero, o que nos permite dividir ambos os lados da equação pelo fator comum $(n-2)^2$, reduzindo a expressão para a forma linear $n - 2 = 6$. Resolvendo essa equação simples, isolamos a variável e determinamos que o valor de $n$ é igual a $\boxed{8}$.
De acordo com o problema, essas duas quantidades de cubinhos são iguais, estabelecendo a igualdade algébrica $(n-2)^3 = 6(n-2)^2$. Dado que a restrição do enunciado define $n > 2$, temos a garantia de que o termo $(n-2)$ é maior que zero, o que nos permite dividir ambos os lados da equação pelo fator comum $(n-2)^2$, reduzindo a expressão para a forma linear $n - 2 = 6$. Resolvendo essa equação simples, isolamos a variável e determinamos que o valor de $n$ é igual a $\boxed{8}$.
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