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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 17 • Álgebra
Foi colocado um certo número de flores em quatro vasos. O número de flores no 1º vaso é igual ao número de vasos que contêm exatamente uma flor. O número de flores no 2º vaso é igual ao número de vasos que contém exatamente 2 flores. O número de flores no 3º vaso é igual ao número de vasos que contêm exatamente 3 flores. O número de flores no 4º vaso é igual ao número de vasos que não contêm flores. Quantas flores, ao todo, foram colocadas nos vasos?
A 2
B 3
C 4
D 5
E 6
Resolução
Para resolver esse problema, precisamos analisar de forma lógica a quantidade de flores em cada vaso, que chamaremos de $V_1$, $V_2$, $V_3$ e $V_4$. Como existem apenas 4 vasos no total, as quantidades de cada um deles representam a contagem de quantas vezes determinados números aparecem nessa própria lista de vasos.
Vamos testar o quarto vaso, $V_4$, que indica quantos vasos não contêm nenhuma flor. Se $V_4$ fosse igual a 0, significaria que nenhum vaso está vazio, o que seria uma contradição imediata, pois o próprio $V_4$ valeria 0. Se $V_4$ fosse igual a 2 ou mais, criaríamos inconsistências com as outras regras. Portanto, a única possibilidade lógica é que $V_4 = 1$, indicando que existe exatamente um vaso com zero flores.
Sabendo que $V_4 = 1$, já temos um vaso contendo o número 1. Se definirmos que o primeiro vaso $V_1$ (que conta os vasos com 1 flor) é igual a 2, e o segundo vaso $V_2$ (que conta os vasos com 2 flores) é igual a 1, a configuração completa dos quatro vasos se torna $V_1 = 2$, $V_2 = 1$, $V_3 = 0$ e $V_4 = 1$.
Podemos validar essa solução verificando cada condição: temos um vaso vazio ($V_3 = 0$, logo $V_4 = 1$), dois vasos com uma flor ($V_2 = 1$ e $V_4 = 1$, logo $V_1 = 2$), um vaso com duas flores ($V_1 = 2$, logo $V_2 = 1$) e nenhum vaso com três flores (logo $V_3 = 0$). Somando a quantidade de flores de todos os vasos, chegamos ao resultado final de $2 + 1 + 0 + 1 = \boxed{4}$ flores.
Vamos testar o quarto vaso, $V_4$, que indica quantos vasos não contêm nenhuma flor. Se $V_4$ fosse igual a 0, significaria que nenhum vaso está vazio, o que seria uma contradição imediata, pois o próprio $V_4$ valeria 0. Se $V_4$ fosse igual a 2 ou mais, criaríamos inconsistências com as outras regras. Portanto, a única possibilidade lógica é que $V_4 = 1$, indicando que existe exatamente um vaso com zero flores.
Sabendo que $V_4 = 1$, já temos um vaso contendo o número 1. Se definirmos que o primeiro vaso $V_1$ (que conta os vasos com 1 flor) é igual a 2, e o segundo vaso $V_2$ (que conta os vasos com 2 flores) é igual a 1, a configuração completa dos quatro vasos se torna $V_1 = 2$, $V_2 = 1$, $V_3 = 0$ e $V_4 = 1$.
Podemos validar essa solução verificando cada condição: temos um vaso vazio ($V_3 = 0$, logo $V_4 = 1$), dois vasos com uma flor ($V_2 = 1$ e $V_4 = 1$, logo $V_1 = 2$), um vaso com duas flores ($V_1 = 2$, logo $V_2 = 1$) e nenhum vaso com três flores (logo $V_3 = 0$). Somando a quantidade de flores de todos os vasos, chegamos ao resultado final de $2 + 1 + 0 + 1 = \boxed{4}$ flores.
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