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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 16 • Aritmética
Os cangurus de um grupo comemoram os seus aniversários no mesmo dia. Esses cangurus têm idades todas diferentes, menores do que 20 e com produto igual a 2025. Qual é o maior número possível de cangurus nesse grupo?
A 2
B 3
C 4
D 5
E 6
Resolução
Começamos encontrando a fatoração prima do número 2025. Dividindo o número por seus componentes primos, obtemos:$$2025 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 3^4 \times 5^2$$Como todas as idades devem ser números inteiros diferentes e menores do que 20, precisamos agrupar esses fatores primos para formar o maior número de idades distintas possível. Os dois fatores 5 não podem ser usados sozinhos (gerariam idades repetidas) e nem juntos ($5 \times 5 = 25$, que é maior que 20). A única forma de distribuí-los é multiplicando um deles por 3, o que nos dá as idades 5 e 15.
Com isso, restam três fatores 3 para serem distribuídos. Para obtermos o máximo de idades menores que 20 e que não se repitam, a melhor escolha é separá-los em 3 e 9 ($3 \times 3$). Até aqui, temos o conjunto de idades {3, 5, 9, 15}. Como o enunciado não proíbe a idade de 1 ano (que é menor que 20 e diferente das demais), podemos incluir o número 1 no grupo sem alterar o produto final.
Portanto, combinando as idades 1, 3, 5, 9 e 15, o maior número possível de cangurus nesse grupo é $\boxed{5}$.
Com isso, restam três fatores 3 para serem distribuídos. Para obtermos o máximo de idades menores que 20 e que não se repitam, a melhor escolha é separá-los em 3 e 9 ($3 \times 3$). Até aqui, temos o conjunto de idades {3, 5, 9, 15}. Como o enunciado não proíbe a idade de 1 ano (que é menor que 20 e diferente das demais), podemos incluir o número 1 no grupo sem alterar o produto final.
Portanto, combinando as idades 1, 3, 5, 9 e 15, o maior número possível de cangurus nesse grupo é $\boxed{5}$.
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