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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 16 • Álgebra
Um número é escrito em cada um dos 12 círculos da figura. O número dentro de cada quadrado é igual ao produto dos números escritos nos círculos dos 4 vértices desse quadrado. Qual é o produto de todos os números escritos nos 8 círculos cinza? 
A 20
B 40
C 80
D 120
E 480
Resolução
Para resolver o problema, podemos associar uma variável para cada um dos 12 círculos. Vamos definir os 4 círculos brancos centrais como $w_1, w_2, w_3$ e $w_4$. O quadrado central possui esses 4 círculos brancos como vértices, de modo que o produto deles é igual a 12:$$w_1 \cdot w_2 \cdot w_3 \cdot w_4 = 12$$Cada um dos 4 quadrados externos (superior, inferior, esquerdo e direito) é formado por 2 círculos brancos e 2 círculos cinza. Se multiplicarmos os números de todos os 4 quadrados externos, estaremos multiplicando os 8 círculos cinza exatamente uma vez, enquanto cada círculo branco será contabilizado exatamente duas vezes (já que cada círculo branco serve de vértice para dois quadrados externos adjacentes).
Realizando a multiplicação dos valores dos quatro quadrados externos, obtemos a seguinte relação:$$\text{(Círculos Cinza)} \cdot (w_1 \cdot w_2 \cdot w_3 \cdot w_4)^2 = 10 \cdot 24 \cdot 4 \cdot 6$$Substituindo o produto dos círculos brancos pelo valor do quadrado central ($12$) e calculando o produto do lado direito, a equação se simplifica para:$$\text{(Círculos Cinza)} \cdot 12^2 = 5760$$$$\text{(Círculos Cinza)} \cdot 144 = 5760$$Dividindo ambos os lados por 144, isolamos o produto dos 8 círculos cinza:$$\text{(Círculos Cinza)} = \frac{5760}{144} = \boxed{40}$$
Realizando a multiplicação dos valores dos quatro quadrados externos, obtemos a seguinte relação:$$\text{(Círculos Cinza)} \cdot (w_1 \cdot w_2 \cdot w_3 \cdot w_4)^2 = 10 \cdot 24 \cdot 4 \cdot 6$$Substituindo o produto dos círculos brancos pelo valor do quadrado central ($12$) e calculando o produto do lado direito, a equação se simplifica para:$$\text{(Círculos Cinza)} \cdot 12^2 = 5760$$$$\text{(Círculos Cinza)} \cdot 144 = 5760$$Dividindo ambos os lados por 144, isolamos o produto dos 8 círculos cinza:$$\text{(Círculos Cinza)} = \frac{5760}{144} = \boxed{40}$$
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