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CANGURU DE MATEMÁTICA 2025 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 12 • Geometria
Ana olha para uma foto na tela do seu celular. A foto tem a proporção 16:9 e ocupa exatamente as dimensões da tela quando o celular está na horizontal. Quando Ana coloca o celular na vertical, a foto fica menor para se ajustar à tela, mantendo a proporção original. 
Com o celular na posição vertical, qual é a fração da área da tela ocupada pela foto?
Com o celular na posição vertical, qual é a fração da área da tela ocupada pela foto?A $\large \frac{3}{4}$
B $\large \frac{9}{16}$
C $\large \frac{27}{64}$
D $\large \frac{32}{81}$
E $\large \frac{81}{256}$
Resolução
Quando o celular está na horizontal, as dimensões da tela coincidem exatamente com as da foto na proporção 16:9. Podemos definir, para fins de cálculo, que a largura da tela é de 16 unidades e a sua altura é de 9 unidades, o que resulta em uma área total de $16 \cdot 9 = 144$ unidades quadradas.
Ao girar o celular para a posição vertical, a tela muda de orientação: a sua nova largura passa a ser de 9 unidades e a sua nova altura passa a ser de 16 unidades. Como a foto precisa se ajustar a essa nova configuração mantendo o formato de paisagem original (proporção 16:9), ela ficará limitada pela nova largura da tela, ocupando exatamente as 9 unidades horizontais disponíveis.
Para descobrir o fator de redução da foto, comparamos a sua nova largura (9 unidades) com a sua largura original na horizontal (16 unidades). Isso significa que as dimensões lineares da imagem foram multiplicadas pela fração $\large \frac{9}{16}$. Como a área de uma figura geométrica varia de forma proporcional ao quadrado de suas dimensões lineares, a nova área ocupada pela foto será reduzida por esse fator elevado ao quadrado.
Calculando a razão final, obtemos $\left(\large \frac{9}{16}\right)^2 = \large \frac{81}{256}$. Como a área total da tela permanece exatamente a mesma após a rotação, a fração da área da tela ocupada pela foto na posição vertical é de $\boxed{\frac{81}{256}}$.
Ao girar o celular para a posição vertical, a tela muda de orientação: a sua nova largura passa a ser de 9 unidades e a sua nova altura passa a ser de 16 unidades. Como a foto precisa se ajustar a essa nova configuração mantendo o formato de paisagem original (proporção 16:9), ela ficará limitada pela nova largura da tela, ocupando exatamente as 9 unidades horizontais disponíveis.
Para descobrir o fator de redução da foto, comparamos a sua nova largura (9 unidades) com a sua largura original na horizontal (16 unidades). Isso significa que as dimensões lineares da imagem foram multiplicadas pela fração $\large \frac{9}{16}$. Como a área de uma figura geométrica varia de forma proporcional ao quadrado de suas dimensões lineares, a nova área ocupada pela foto será reduzida por esse fator elevado ao quadrado.
Calculando a razão final, obtemos $\left(\large \frac{9}{16}\right)^2 = \large \frac{81}{256}$. Como a área total da tela permanece exatamente a mesma após a rotação, a fração da área da tela ocupada pela foto na posição vertical é de $\boxed{\frac{81}{256}}$.
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