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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 29 • Combinatória
Lia quer escrever os inteiros de 1 a 9 nas 9 casas ao lado, de modo que os inteiros escritos em quaisquer 3 casas consecutivas têm como soma um múltiplo de 3. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso? 
A $6^{4}$
B $6^{3}$
C $2^{9}$
D 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
E 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Resolução
Para resolver esse problema, vamos agrupar os números de 1 a 9 de acordo com o resto da divisão por 3:
• Resto 0: ${3, 6, 9}$ (3 números)
A condição de que a soma de quaisquer 3 casas consecutivas deve ser um múltiplo de 3 implica que a sequência de restos deve ter um período de 3 e que a soma de cada período ($r_1 + r_2 + r_3$) deve ser múltipla de 3. Como temos exatamente três números de cada grupo, a sequência de restos $(r_1, r_2, r_3)$ deve ser uma permutação de $(0, 1, 2)$ para que a soma seja $0 + 1 + 2 = 3$, que é múltiplo de 3.
Existem 6 permutações possíveis para essa sequência de restos (ex: $0, 1, 2$; $0, 2, 1$; etc.). Para cada uma dessas 6 permutações de restos, precisamos distribuir os números específicos: Temos 3 posições para o grupo de resto 0, que podem ser preenchidas de $3! = 6$ maneiras.Temos 3 posições para o grupo de resto 1, que podem ser preenchidas de $3! = 6$ maneiras. Temos 3 posições para o grupo de resto 2, que podem ser preenchidas de $3! = 6$ maneiras. O número total de maneiras é dado por: $$6 \text{ (Padrões de resto)} \cdot (3! \cdot 3! \cdot 3!) = 6 \cdot (6 \cdot 6 \cdot 6) = 6 \cdot 6^3 = \boxed{6^4}$$ Portanto, a alternativa correta é a $\boxed{\text{A}}$.
• Resto 0: ${3, 6, 9}$ (3 números)
• Resto 1: ${1, 4, 7}$ (3 números)
• Resto 2: ${2, 5, 8}$ (3 números)A condição de que a soma de quaisquer 3 casas consecutivas deve ser um múltiplo de 3 implica que a sequência de restos deve ter um período de 3 e que a soma de cada período ($r_1 + r_2 + r_3$) deve ser múltipla de 3. Como temos exatamente três números de cada grupo, a sequência de restos $(r_1, r_2, r_3)$ deve ser uma permutação de $(0, 1, 2)$ para que a soma seja $0 + 1 + 2 = 3$, que é múltiplo de 3.
Existem 6 permutações possíveis para essa sequência de restos (ex: $0, 1, 2$; $0, 2, 1$; etc.). Para cada uma dessas 6 permutações de restos, precisamos distribuir os números específicos: Temos 3 posições para o grupo de resto 0, que podem ser preenchidas de $3! = 6$ maneiras.Temos 3 posições para o grupo de resto 1, que podem ser preenchidas de $3! = 6$ maneiras. Temos 3 posições para o grupo de resto 2, que podem ser preenchidas de $3! = 6$ maneiras. O número total de maneiras é dado por: $$6 \text{ (Padrões de resto)} \cdot (3! \cdot 3! \cdot 3!) = 6 \cdot (6 \cdot 6 \cdot 6) = 6 \cdot 6^3 = \boxed{6^4}$$ Portanto, a alternativa correta é a $\boxed{\text{A}}$.
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