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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 21 • Geometria
O diagrama mostra dois semicírculos tangentes de raio 1 e com diâmetros paralelos AB e CD. Qual é o quadrado da distância AD? 
A $16$
B $8 + 4\sqrt{3}$
C $12$
D $9$
E $5 + 2\sqrt{3}$
Resolução
Podemos estabelecer um sistema de coordenadas para resolver o problema. Observando o diagrama, notamos que a reta do diâmetro superior $CD$ é tangente ao topo do semicírculo inferior, e a reta do diâmetro $AB$ é tangente à base do semicírculo superior. Como o raio de ambos é 1, a distância vertical entre essas duas retas paralelas é exatamente 1. Além disso, como os semicírculos são tangentes entre si, a distância reta entre seus centros é a soma dos seus raios, que é $1 + 1 = 2$.
Colocando o centro do semicírculo inferior na origem de um plano cartesiano, ou seja, em $(0, 0)$, o ponto $A$ (sua extremidade esquerda) ficará nas coordenadas $(-1, 0)$. O centro do semicírculo superior estará em uma altura $y = 1$. A distância horizontal entre os dois centros pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado por eles: a hipotenusa é 2 e o cateto vertical é 1, logo, o cateto horizontal é $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Assim, o centro do semicírculo superior está na posição $(\sqrt{3}, 1)$.
O ponto $D$, sendo a extremidade direita do diâmetro superior, está posicionado exatamente uma unidade (o valor do raio) à direita do seu centro, possuindo então as coordenadas $(\sqrt{3} + 1, 1)$. Para encontrar o quadrado da distância $AD$, aplicamos a fórmula da distância entre dois pontos: $$AD^2 = ((\sqrt{3} + 1) - (-1))^2 + (1 - 0)^2$$$$AD^2 = (sqrt{3} + 2)^2 + 1^2$$$$AD^2 = (3 + 4\sqrt{3} + 4) + 1$$ Portanto, ao somarmos os valores, concluímos que o quadrado da distância $AD$ é $\boxed{8 + 4\sqrt{3}}$.
Colocando o centro do semicírculo inferior na origem de um plano cartesiano, ou seja, em $(0, 0)$, o ponto $A$ (sua extremidade esquerda) ficará nas coordenadas $(-1, 0)$. O centro do semicírculo superior estará em uma altura $y = 1$. A distância horizontal entre os dois centros pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado por eles: a hipotenusa é 2 e o cateto vertical é 1, logo, o cateto horizontal é $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Assim, o centro do semicírculo superior está na posição $(\sqrt{3}, 1)$.
O ponto $D$, sendo a extremidade direita do diâmetro superior, está posicionado exatamente uma unidade (o valor do raio) à direita do seu centro, possuindo então as coordenadas $(\sqrt{3} + 1, 1)$. Para encontrar o quadrado da distância $AD$, aplicamos a fórmula da distância entre dois pontos: $$AD^2 = ((\sqrt{3} + 1) - (-1))^2 + (1 - 0)^2$$$$AD^2 = (sqrt{3} + 2)^2 + 1^2$$$$AD^2 = (3 + 4\sqrt{3} + 4) + 1$$ Portanto, ao somarmos os valores, concluímos que o quadrado da distância $AD$ é $\boxed{8 + 4\sqrt{3}}$.
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