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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 20 • Geometria
Um quadrado de lado 30 cm foi dividido em 9 quadradinhos iguais. Esse quadrado tem em seu interior 3 círculos, respectivamente com raios 5 cm (embaixo, à direita), 4cm (em cima, à esquerda) e 3cm (em cima, à direita). Qual é a área da parte cinza do quadrado? 
A $400 \text{ cm}^{2}$
B $500 \text{ cm}^{2}$
C $(400 + 50\pi) \text{ cm}^{2}$
D $(500 - 25\pi) \text{ cm}^{2}$
E $(500 + 25\pi) \text{ cm}^{2}$
Resolução
O quadrado maior possui 30 cm de lado e está dividido em 9 quadradinhos iguais, dispostos em uma malha de $3 \cdot 3.$ Isso significa que cada quadradinho menor tem 10 cm de lado e uma área exata de $10 \cdot 10 = 100$ $m^2$. Analisando a pintura da figura, identificamos que a área cinza total é composta por 4 quadradinhos inteiramente cinzas (na linha do meio e na linha de baixo), 2 círculos cinzas que estão sobre quadradinhos brancos (no topo) e 1 quadradinho cinza que teve uma parte branca removida por um círculo (no canto inferior direito).
Para calcular a área cinza com precisão, podemos somar todas essas partes matemáticas. Os 4 quadradinhos inteiramente cinzas somam $4 \cdot 100 = 400$ $cm^2$. Os dois círculos cinzas no topo possuem raios de 4 cm e 3 cm, o que lhes confere áreas de $16\pi$ $cm^2$ e $9\pi$ $cm^2$, respectivamente, totalizando um acréscimo de $25\pi$ $cm^2$ de área cinza. No canto inferior direito, temos um quadradinho cinza original de $100$ $cm^2$ do qual devemos subtrair a área do círculo branco contido nele. Como esse círculo branco possui um raio de 5 cm, sua área mede exatamente $25\pi$ $cm^2$.
Ao estruturarmos a equação para a área cinza total, somamos as partes sólidas, adicionamos os círculos cinzas e subtraímos o círculo branco: $400 + 25\pi + 100 - 25\pi$. Note que a área cinza adicionada pelos dois círculos de cima ($25\pi$) compensa perfeitamente a área cinza subtraída pelo círculo branco de baixo ($-25\pi$), fazendo com que os termos em $\pi$ se anulem na soma final. Dessa forma, a área total da parte cinza do quadrado é de $\boxed{500 \text{ cm}²}$.
Para calcular a área cinza com precisão, podemos somar todas essas partes matemáticas. Os 4 quadradinhos inteiramente cinzas somam $4 \cdot 100 = 400$ $cm^2$. Os dois círculos cinzas no topo possuem raios de 4 cm e 3 cm, o que lhes confere áreas de $16\pi$ $cm^2$ e $9\pi$ $cm^2$, respectivamente, totalizando um acréscimo de $25\pi$ $cm^2$ de área cinza. No canto inferior direito, temos um quadradinho cinza original de $100$ $cm^2$ do qual devemos subtrair a área do círculo branco contido nele. Como esse círculo branco possui um raio de 5 cm, sua área mede exatamente $25\pi$ $cm^2$.
Ao estruturarmos a equação para a área cinza total, somamos as partes sólidas, adicionamos os círculos cinzas e subtraímos o círculo branco: $400 + 25\pi + 100 - 25\pi$. Note que a área cinza adicionada pelos dois círculos de cima ($25\pi$) compensa perfeitamente a área cinza subtraída pelo círculo branco de baixo ($-25\pi$), fazendo com que os termos em $\pi$ se anulem na soma final. Dessa forma, a área total da parte cinza do quadrado é de $\boxed{500 \text{ cm}²}$.
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