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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 23 • Geometria
Um retângulo de vértices (0, 0), (100, 0), (100, 50) e (0, 50) tem um círculo de centro (75, 30) e raio 10 no seu interior. Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto (75, 30) e divide a área do retângulo menos a área do círculo em duas áreas iguais?
A $\large \frac{1}{5}$
B $\large \frac{1}{3}$
C $\large \frac{1}{2}$
D $\large \frac{2}{5}$
E $\large \frac{2}{3}$
Resolução
Para que a reta divida a área do retângulo (menos a do círculo) em duas partes iguais, ela precisa passar obrigatoriamente pelo centro geométrico de ambos. Isso acontece porque qualquer reta que passa pelo centro do círculo divide sua área ao meio, e o mesmo ocorre com o retângulo.
Primeiro, localizamos o centro do retângulo calculando a média aritmética dos seus vértices opostos. Como os vértices vão de $(0, 0)$ a $(100, 50)$, o ponto central é $(\large \frac{100}{2}, \frac{50}{2})$, ou seja, $(50, 25)$. O problema já nos fornece o centro do círculo em $(75, 30)$.
Com esses dois pontos, calculamos o coeficiente angular ($m$) usando a fórmula da inclinação da reta: $m = \large \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Substituindo os valores, temos $m = \large \frac{30 - 25}{75 - 50} = \frac{5}{25}$. Simplificando essa fração, obtemos $0,2$ (ou $\boxed{\frac{1}{5}}$). Portanto, esse é o coeficiente angular necessário para a reta dividir a área solicitada em duas partes iguais.
Primeiro, localizamos o centro do retângulo calculando a média aritmética dos seus vértices opostos. Como os vértices vão de $(0, 0)$ a $(100, 50)$, o ponto central é $(\large \frac{100}{2}, \frac{50}{2})$, ou seja, $(50, 25)$. O problema já nos fornece o centro do círculo em $(75, 30)$.
Com esses dois pontos, calculamos o coeficiente angular ($m$) usando a fórmula da inclinação da reta: $m = \large \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Substituindo os valores, temos $m = \large \frac{30 - 25}{75 - 50} = \frac{5}{25}$. Simplificando essa fração, obtemos $0,2$ (ou $\boxed{\frac{1}{5}}$). Portanto, esse é o coeficiente angular necessário para a reta dividir a área solicitada em duas partes iguais.
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