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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 11 • Aritmética
Toninho calcula a média aritmética de 5 números naturais diferentes e primos. Qual é o menor inteiro que ele pode obter?
A 2
B 5
C 6
D 12
E 30
Resolução
Para minimizar a média aritmética, precisamos selecionar os cinco menores números primos distintos, que são 2, 3, 5, 7 e 11. Somando esses valores, obtemos $2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28$. Como a média é calculada pela divisão da soma pelo número de elementos, temos a média $\large \frac{28}{5}$ $= 5,6$, que não é um número inteiro.
Como o problema exige que o resultado seja um número inteiro, a soma desses cinco primos deve ser obrigatoriamente um múltiplo de 5. O próximo múltiplo de 5 maior que 28 é 30. Para obter essa soma, podemos ajustar o conjunto inicial substituindo o maior número, 11, pelo próximo primo disponível, que é 13.
Dessa forma, o novo conjunto de cinco primos distintos é 2, 3, 5, 7 e 13, cuja soma é $2 + 3 + 5 + 7 + 13 = 30$. Calculando a média aritmética desse conjunto, temos $\large \frac{30}{5}$ $= 6$. Portanto, o menor inteiro que ele pode obter é $\boxed{6}$.
Como o problema exige que o resultado seja um número inteiro, a soma desses cinco primos deve ser obrigatoriamente um múltiplo de 5. O próximo múltiplo de 5 maior que 28 é 30. Para obter essa soma, podemos ajustar o conjunto inicial substituindo o maior número, 11, pelo próximo primo disponível, que é 13.
Dessa forma, o novo conjunto de cinco primos distintos é 2, 3, 5, 7 e 13, cuja soma é $2 + 3 + 5 + 7 + 13 = 30$. Calculando a média aritmética desse conjunto, temos $\large \frac{30}{5}$ $= 6$. Portanto, o menor inteiro que ele pode obter é $\boxed{6}$.
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