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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 25 • Aritmética
Maria escreve em cada círculo da figura um número de 1 algarismo, sendo todos os 7 números diferentes. O produto dos 3 números nas 3 linhas é sempre o mesmo. Qual número foi escrito no círculo com o ponto de interrogação? 
A 2
B 3
C 4
D 6
E 8
Resolução
Como os 7 algarismos (de 1 a 9) são diferentes e o produto $P$ das três linhas é sempre o mesmo, não podemos usar o 0 (que zeraria tudo e forçaria a repetição do 0), nem os números primos 5 e 7 (pois exigiriam repetição nas outras linhas para manter o mesmo múltiplo). Isso nos deixa exatamente com o conjunto ${1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}$.
A multiplicação dos números contidos nas duas linhas horizontais inteiras resulta em $P^2$, englobando 6 dos 7 círculos do desenho. Multiplicando esse valor pelo círculo que falta (a interrogação, que chamaremos de $g$), obtemos o produto de todos os algarismos do nosso conjunto: $P^2 \cdot g = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 = 10368$, que fatorado é $2^7 \cdot 3^4$.
Para que $P$ seja um número inteiro, a equação exige que $g$ seja um valor capaz de tornar os expoentes do outro lado pares (formando um quadrado perfeito). As opções seriam 2 ou 8. Se testarmos $g = 8$, teríamos $P = 36$, o que faria com que a multiplicação dos outros dois círculos da linha vertical fosse $36 \div 8 = 4,5$, algo impossível usando algarismos inteiros. Portanto, $g$ obrigatoriamente assume o valor de 2 (resultando no produto $P = 72$ para cada linha), concluindo que o número no ponto de interrogação é $\boxed{2}$.
A multiplicação dos números contidos nas duas linhas horizontais inteiras resulta em $P^2$, englobando 6 dos 7 círculos do desenho. Multiplicando esse valor pelo círculo que falta (a interrogação, que chamaremos de $g$), obtemos o produto de todos os algarismos do nosso conjunto: $P^2 \cdot g = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 = 10368$, que fatorado é $2^7 \cdot 3^4$.
Para que $P$ seja um número inteiro, a equação exige que $g$ seja um valor capaz de tornar os expoentes do outro lado pares (formando um quadrado perfeito). As opções seriam 2 ou 8. Se testarmos $g = 8$, teríamos $P = 36$, o que faria com que a multiplicação dos outros dois círculos da linha vertical fosse $36 \div 8 = 4,5$, algo impossível usando algarismos inteiros. Portanto, $g$ obrigatoriamente assume o valor de 2 (resultando no produto $P = 72$ para cada linha), concluindo que o número no ponto de interrogação é $\boxed{2}$.
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