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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 27 • Aritmética
Quantos números inteiros positivos de 3 algarismos x existem, de modo que, ao subtrair a soma dos algarismos de x do próprio x, obtém-se um número com 3 algarismos iguais?
A 1
B 2
C 3
D 20
E 30
Resolução
Para encontrar esses números, representamos $x$ como $100h + 10d + u$. Ao subtrair a soma dos algarismos ($h + d + u$) de $x$, obtemos $99h + 9d$, que pode ser escrito como $9(11h + d)$.
Isso significa que o resultado da subtração deve ser um múltiplo de 9 composto por três algarismos iguais. Entre os números possíveis (111, 222, ..., 999), apenas 333, 666 e 999 são divisíveis por 9. Analisamos cada caso:
• Para 333: $9(11h + d) = 333$, o que resulta em $11h + d = 37$. A única solução com algarismos válidos é $h=3$ e $d=4$. Como $u$ pode assumir qualquer valor de 0 a 9, temos 10 números (de 340 a 349).
Isso significa que o resultado da subtração deve ser um múltiplo de 9 composto por três algarismos iguais. Entre os números possíveis (111, 222, ..., 999), apenas 333, 666 e 999 são divisíveis por 9. Analisamos cada caso:
• Para 333: $9(11h + d) = 333$, o que resulta em $11h + d = 37$. A única solução com algarismos válidos é $h=3$ e $d=4$. Como $u$ pode assumir qualquer valor de 0 a 9, temos 10 números (de 340 a 349).
• Para 666: $9(11h + d) = 666$, resultando em $11h + d = 74$. A única solução possível é $h=6$ e $d=8$. Novamente, $u$ pode ser de 0 a 9, gerando mais 10 números (de 680 a 689).
• Para 999: $9(11h + d) = 999$, resultando em $11h + d = 111$. Não há solução válida, pois $d$ teria que ser maior que 9.
Somando os resultados, temos $10 + 10 = \boxed{20}$. Portanto, existem $\boxed{\text{20 números}}$ que satisfazem essa condição.
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