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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 18 • Aritmética
Os degraus de uma escada de 2023 degraus são pintados de preto de 3 em 3, conforme figura ao lado, que mostra os 7 primeiros degraus dessa escada. Anita sobe a escada degrau por degrau, começando com o pé direito ou o pé esquerdo e alternando o pé a cada novo degrau. Qual é o menor número de degraus pretos em que ela pisará com o seu pé direito? 
A 0
B 333
C 336
D 337
E 674
Resolução
Observamos que os degraus pretos seguem a sequência exata dos múltiplos de 3 (degraus 3, 6, 9, e assim por diante). Como a escada possui 2023 degraus no total, podemos descobrir a quantidade total de degraus pretos dividindo 2023 por 3, o que resulta em exatos 674 degraus pretos (ignorando o resto da divisão, pois o degrau 2023 não é múltiplo de 3). Essa sequência de 674 degraus pretos alterna perfeitamente entre posições ímpares (3, 9, 15...) e posições pares (6, 12, 18...).
Como Anita alterna os pés a cada passo, o pé que ela usará em um degrau específico depende de o número do degrau ser par ou ímpar. Temos então dois cenários: se ela começar a subida com o pé direito no primeiro degrau (que é ímpar), ela continuará usando o pé direito em todos os degraus ímpares da escada. Nesse caso, ela pisará com o pé direito apenas na metade ímpar dos degraus pretos, o que corresponde a 337 degraus (674 dividido por 2).
Se analisarmos o segundo cenário, onde ela começa a subida com o pé esquerdo, o padrão se inverte e ela passará a usar o pé direito em todos os degraus pares. Consequentemente, ela pisará com o direito na metade par dos degraus pretos, que também totaliza 337 degraus. Como ambas as escolhas de pé inicial levam ao mesmo resultado, o menor número (e também o único número possível) de degraus pretos em que ela pisará com o pé direito é $\boxed{337}$.
Como Anita alterna os pés a cada passo, o pé que ela usará em um degrau específico depende de o número do degrau ser par ou ímpar. Temos então dois cenários: se ela começar a subida com o pé direito no primeiro degrau (que é ímpar), ela continuará usando o pé direito em todos os degraus ímpares da escada. Nesse caso, ela pisará com o pé direito apenas na metade ímpar dos degraus pretos, o que corresponde a 337 degraus (674 dividido por 2).
Se analisarmos o segundo cenário, onde ela começa a subida com o pé esquerdo, o padrão se inverte e ela passará a usar o pé direito em todos os degraus pares. Consequentemente, ela pisará com o direito na metade par dos degraus pretos, que também totaliza 337 degraus. Como ambas as escolhas de pé inicial levam ao mesmo resultado, o menor número (e também o único número possível) de degraus pretos em que ela pisará com o pé direito é $\boxed{337}$.
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