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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática

MateBásica

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Questão 176 • Álgebra
Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico. Os números são: 1, 5, 12, 22, 35, 51... Imagem de apoio da questão O oitavo número pentagonal é
A 59.
B 83.
C 86.
D 89.
E 92.
Resolução
Para encontrar esse valor, podemos analisar a diferença entre cada termo consecutivo da sequência dada (1, 5, 12, 22, 35, 51...):

• De $1$ para $5$, a diferença é $4$

• De $5$ para $12$, a diferença é $7$

• De $12$ para $22$, a diferença é $10$

• De $22$ para $35$, a diferença é $13$

• De $35$ para $51$, a diferença é $16$

Note que as diferenças entre os termos ($4, 7, 10, 13, 16\dots$) aumentam sempre de $3$ em $3$, formando uma progressão aritmética de razão $3$.

Seguindo esse padrão:

• Para encontrar o sétimo termo ($P_7$), somamos $16 + 3 = 19$ ao sexto termo:$$P_7 = 51 + 19 = 70$$ • Para encontrar o oitavo termo ($P_8$), somamos $19 + 3 = 22$ ao sétimo termo:$$P_8 = 70 + 22 = \boxed{92}$$Também podemos confirmar o resultado aplicando a fórmula matemática para o $n$-ésimo número pentagonal:$$P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}$$Substituindo $n = 8$:$$P_8 = \frac{8(3 \cdot 8 - 1)}{2} = 4 \cdot (24 - 1) = 4 \cdot 23 = \boxed{92}$$

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