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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 172 • Geometria
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos $C_1$, $C_2$ e $C_3$, como apresentados na figura. 
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área ($C_1$) = área ($C_2$) + área ($C_3$). Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura. 
A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área ($C_1$) = área ($C_2$) + área ($C_3$). Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura. A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
A 0° < α < 90°
B α = 90°
C 90° < α < 180°
D α = 180°
E 180° < α < 360°
Resolução
1. Relação entre as Áreas das Pizzas:
A área $A$ de um círculo em função do seu diâmetro $d$ é calculada por:$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$Sejam $a$ o diâmetro da pizza do professor (oposto ao ângulo $\alpha$) e $b$ e $c$ os diâmetros das pizzas dos dois amigos. Para que a área da pizza do professor seja maior do que a soma das áreas das outras duas:$$\text{Área}_{\text{professor}} > \text{Área}_{\text{amigo 1}} + \text{Área}_{\text{amigo 2}}$$$$\frac{\pi a^2}{4} > \frac{\pi b^2}{4} + \frac{\pi c^2}{4}$$Simplificando a inequação ao dividir ambos os lados por $\frac{\pi}{4}$:$$a^2 > b^2 + c^2$$2. Aplicação da Lei dos Cossenos:
No triângulo formado pelos diâmetros das pizzas, o lado $a$ está oposto ao ângulo $\alpha$. Pela Lei dos Cossenos, temos:$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$$ 3. Análise do Ângulo $\alpha$:
Substituindo a igualdade da Lei dos Cossenos na inequação obtida no primeiro passo:$$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) > b^2 + c^2$$Subtraindo $(b^2 + c^2)$ de ambos os lados:$$-2bc \cos(\alpha) > 0$$Como as medidas dos lados $b$ e $c$ são estritamente positivas ($2bc > 0$), para que o produto seja positivo, o cosseno deve ser negativo:$$\cos(\alpha) < 0$$Como $\alpha$ é um ângulo interno de um triângulo, seu valor deve estar entre $0^\circ$ e $180^\circ$. O cosseno de um ângulo nesse intervalo só é negativo no segundo quadrante, ou seja, quando o ângulo é obtuso:$$\boxed{90^\circ < \alpha < 180^\circ}$$
A área $A$ de um círculo em função do seu diâmetro $d$ é calculada por:$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$Sejam $a$ o diâmetro da pizza do professor (oposto ao ângulo $\alpha$) e $b$ e $c$ os diâmetros das pizzas dos dois amigos. Para que a área da pizza do professor seja maior do que a soma das áreas das outras duas:$$\text{Área}_{\text{professor}} > \text{Área}_{\text{amigo 1}} + \text{Área}_{\text{amigo 2}}$$$$\frac{\pi a^2}{4} > \frac{\pi b^2}{4} + \frac{\pi c^2}{4}$$Simplificando a inequação ao dividir ambos os lados por $\frac{\pi}{4}$:$$a^2 > b^2 + c^2$$2. Aplicação da Lei dos Cossenos:
No triângulo formado pelos diâmetros das pizzas, o lado $a$ está oposto ao ângulo $\alpha$. Pela Lei dos Cossenos, temos:$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$$ 3. Análise do Ângulo $\alpha$:
Substituindo a igualdade da Lei dos Cossenos na inequação obtida no primeiro passo:$$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) > b^2 + c^2$$Subtraindo $(b^2 + c^2)$ de ambos os lados:$$-2bc \cos(\alpha) > 0$$Como as medidas dos lados $b$ e $c$ são estritamente positivas ($2bc > 0$), para que o produto seja positivo, o cosseno deve ser negativo:$$\cos(\alpha) < 0$$Como $\alpha$ é um ângulo interno de um triângulo, seu valor deve estar entre $0^\circ$ e $180^\circ$. O cosseno de um ângulo nesse intervalo só é negativo no segundo quadrante, ou seja, quando o ângulo é obtuso:$$\boxed{90^\circ < \alpha < 180^\circ}$$
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