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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 168 • Combinatória
Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.
As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
A $\large \frac{1}{50} \text{ e } \frac{1}{60}$
B $\large \frac{1}{50} \text{ e } \frac{1}{50}$
C $\large \frac{1}{50} \text{ e } \frac{1}{10}$
D $\large \frac{1}{55} \text{ e } \frac{1}{54}$
E $\large \frac{1}{100} \text{ e } \frac{1}{100}$
Resolução
Para calcular as probabilidades de cada candidato ser sorteado, analisamos os sorteios em duas etapas distintas: primeiro o algarismo das unidades e depois o das dezenas.
Para o candidato de número 50, a primeira etapa exige que seja sorteada a bola de número 0 na urna das unidades, que possui 10 opções (de 0 a 9). A probabilidade de esse evento ocorrer é de $\frac{1}{10}$. Uma vez sorteado o algarismo 0, a segunda urna conterá apenas os algarismos de dezenas que formam números válidos entre 01 e 55 terminados em 0. Esses números são 10, 20, 30, 40 e 50 (já que o número 00 é inválido no intervalo estabelecido), totalizando 5 dezenas possíveis (1, 2, 3, 4 e 5). A probabilidade de sortear a dezena 5 entre essas 5 opções é de $\frac{1}{5}$. Multiplicando as probabilidades de cada etapa, obtemos a probabilidade total de sortear o número 50:$$\frac{1}{10} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{50}$$Para o candidato de número 02, o raciocínio é análogo. Primeiro, deve-se sortear o algarismo 2 na urna das unidades, cuja probabilidade é de $\frac{1}{10}$. Após esse sorteio, os números válidos entre 01 e 55 que terminam em 2 são 02, 12, 22, 32, 42 e 52, o que resulta em 6 dezenas possíveis na segunda urna (0, 1, 2, 3, 4 e 5). A probabilidade de sortear a dezena 0 é de $\frac{1}{6}$. Multiplicando as probabilidades das duas etapas, a probabilidade de sortear o número 02 é de:$$\frac{1}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{60}$$Portanto, as probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente, $\boxed{\frac{1}{50} \text{ e } \frac{1}{60}}$.
Para o candidato de número 50, a primeira etapa exige que seja sorteada a bola de número 0 na urna das unidades, que possui 10 opções (de 0 a 9). A probabilidade de esse evento ocorrer é de $\frac{1}{10}$. Uma vez sorteado o algarismo 0, a segunda urna conterá apenas os algarismos de dezenas que formam números válidos entre 01 e 55 terminados em 0. Esses números são 10, 20, 30, 40 e 50 (já que o número 00 é inválido no intervalo estabelecido), totalizando 5 dezenas possíveis (1, 2, 3, 4 e 5). A probabilidade de sortear a dezena 5 entre essas 5 opções é de $\frac{1}{5}$. Multiplicando as probabilidades de cada etapa, obtemos a probabilidade total de sortear o número 50:$$\frac{1}{10} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{50}$$Para o candidato de número 02, o raciocínio é análogo. Primeiro, deve-se sortear o algarismo 2 na urna das unidades, cuja probabilidade é de $\frac{1}{10}$. Após esse sorteio, os números válidos entre 01 e 55 que terminam em 2 são 02, 12, 22, 32, 42 e 52, o que resulta em 6 dezenas possíveis na segunda urna (0, 1, 2, 3, 4 e 5). A probabilidade de sortear a dezena 0 é de $\frac{1}{6}$. Multiplicando as probabilidades das duas etapas, a probabilidade de sortear o número 02 é de:$$\frac{1}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{60}$$Portanto, as probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente, $\boxed{\frac{1}{50} \text{ e } \frac{1}{60}}$.
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