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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática

MateBásica

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Questão 160 • Combinatória
Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_1$, $p_2$ e $p_3$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

A tipo I, pois $p_1$ < $p_2$ < $p_3$.
B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
C tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
D tipo III, pois $p_3$ < $p_2$ < $p_1$.
E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
Resolução
Para encontrar a menor probabilidade de a senha ser descoberta ao acaso na primeira tentativa ($p = \frac{1}{n}$), precisamos determinar qual das estruturas possui o maior número total de senhas possíveis ($n$). O número de caracteres disponíveis é:

• Letras: $26 \text{ minúsculas} + 26 \text{ maiúsculas} = 52$

• Algarismos: $10$

• Especiais: $6$

• Total de caracteres: $52 + 10 + 6 = 68$

Calculamos o número de combinações para cada tipo:

• Tipo I (4 caracteres distintos quaisquer):$$n_1 = 68 \times 67 \times 66 \times 65 = 19.545.120$$ • Tipo II (3 letras distintas, 1 algarismo e 1 caractere especial): $$n_2 = (52 \times 51 \times 50) \times 10 \times 6 = 132.600 \times 60 = 7.956.000$$ • Tipo III (2 letras distintas, 2 algarismos distintos e 2 caracteres especiais distintos):$$n_3 = (52 \times 51) \times (10 \times 9) \times (6 \times 5) = 2.652 \times 90 \times 30 = 7.160.400$$Como o Tipo I possui o maior número de possibilidades ($n_1 > n_2 > n_3$), a probabilidade de acerto na primeira tentativa será a menor de todas ($p_1 < p_2 < p_3$).

Portanto, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso é o $\boxed{\text{tipo I.}}$

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