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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 16 • Geometria
O pentágono ABCDE foi dividido em 4 triângulos de mesmo perímetro. O triângulo ABC é equilátero e AEF, DFE e CDF são 3 triângulos isósceles congruentes. Qual é a razão entre o perímetro do pentágono ABCDE e o perímetro do triângulo ABC? 
A $\large \frac{2}{1}$
B $\large \frac{3}{2}$
C $\large \frac{4}{3}$
D $\large \frac{5}{3}$
E $\large \frac{5}{2}$
Resolução
Vamos definir o lado do triângulo equilátero $ABC$ como $2x$. Assim, o perímetro do triângulo $ABC$ é $2x + 2x + 2x = 6x$. Como o ponto $F$ divide o lado $AC$ (de comprimento $2x$) e os triângulos $AEF$ e $CDF$ são congruentes, temos que $AF = CF = x$. Cada um dos três triângulos isósceles ($AEF$, $DFE$ e $CDF$) tem, portanto, uma base de comprimento $x$ (o segmento na base ou o lado sobre $AC$) e dois lados iguais de comprimento $y$.
O perímetro desses triângulos é $y + y + x = 2y + x$. Como o problema afirma que todos os quatro triângulos têm o mesmo perímetro, igualamos ao perímetro do triângulo equilátero:
Agora, calculamos o perímetro do pentágono $ABCDE$, que é a soma dos lados externos $AB + BC + CD + DE + EA$:
O perímetro desses triângulos é $y + y + x = 2y + x$. Como o problema afirma que todos os quatro triângulos têm o mesmo perímetro, igualamos ao perímetro do triângulo equilátero:
$2y + x = 6x$
$2y = 5x$Agora, calculamos o perímetro do pentágono $ABCDE$, que é a soma dos lados externos $AB + BC + CD + DE + EA$:
• $AB = 2x$
• $BC = 2x$• $CD = y$ (lado do triângulo $CDF$)
• $DE = x$ (base do triângulo $DFE$)• $EA = y$ (lado do triângulo $AEF$)
Somando esses valores, temos:
Perímetro do pentágono = $2x + 2x + y + x + y = 5x + 2y$
Substituindo $2y$ por $5x$ (conforme calculado anteriormente):Perímetro do pentágono = $5x + 5x = 10x$
A razão entre o perímetro do pentágono ($10x$) e o perímetro do triângulo $ABC$ ($6x$) é: $\large \frac{10x}{6x} = \frac{5}{3}$Portanto, a razão correta é $\boxed{\frac{5}{3}}$.
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