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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
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Questão 159 • Álgebra
Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
A 2
B 4
C 6
D 12
E 18
Resolução
Primeiro, calculamos a população total de larvas necessária para consumir os 5 litros do produto X de uma única vez:$$5 \text{ litros} \times 200.000 \text{ larvas/litro} = 1.000.000 \text{ larvas } (10^6 \text{ larvas})$$A população inicial é de 100 larvas ($10^2$) e multiplica-se por 10 a cada 3 dias. Representando o tempo em dias por $t$, a lei de crescimento da população é dada por:$$P(t) = 100 \times 10^{\frac{t}{3}}$$Para encontrar o momento exato da aplicação, igualamos a população a $10^6$:$$10^2 \times 10^{\frac{t}{3}} = 10^6$$$$10^{2 + \frac{t}{3}} = 10^6$$Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:$$2 + \frac{t}{3} = 6$$$$\frac{t}{3} = 4 \implies t = 12$$Portanto, o agricultor deverá aplicar o produto X $\boxed{12}$ dias após iniciado o método.
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