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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 152 • Álgebra
A exposição a alguns níveis sonoros pode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas medidas preventivas de acordo com a máquina que o funcionário opera e o nível N de intensidade do som, medido em decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo N = log₁₀I¹⁰ - log₁₀I₀¹⁰, I a intensidade do som e I₀ = 10⁻¹² W/m².
Uma nova máquina, com I = 8 × 10⁻⁸ W/m², foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2.
O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva
Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).
Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48 dB ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.Uma nova máquina, com I = 8 × 10⁻⁸ W/m², foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2.
O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva
A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.
Resolução
Para determinar qual medida preventiva deve ser adotada, primeiro simplificamos a expressão matemática do nível de intensidade sonora ($N$):$$N = \log_{10}(I^{10}) - \log_{10}(I_0^{10})$$Utilizando as propriedades dos logaritmos ($\log(x^a) = a \log(x)$), podemos reescrever a equação como:$$N = 10 \log_{10}(I) - 10 \log_{10}(I_0) = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$Substituindo os valores dados para a nova máquina ($I = 8 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2$) e a intensidade de referência ($I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$), calculamos a razão entre as intensidades:$$\frac{I}{I_0} = \frac{8 \times 10^{-8}}{10^{-12}} = 8 \times 10^{4}$$Agora, calculamos o logaritmo dessa razão utilizando a aproximação $\log_{10}(2) \approx 0,3$ e lembrando que $8 = 2^3$:$$\log_{10}(8 \times 10^{4}) = \log_{10}(2^3) + \log_{10}(10^4)$$$$\log_{10}(8 \times 10^{4}) = 3\log_{10}(2) + 4$$$$\log_{10}(8 \times 10^{4}) \approx 3(0,3) + 4 = 0,9 + 4 = 4,9$$Substituindo este valor de volta na fórmula de $N$:$$N = 10 \times 4,9 = 49\text{ dB}$$Como o valor de $N = 49\text{ dB}$ está contido no intervalo de som moderado, que vai de $48\text{ dB}$ a $55\text{ dB}$, o funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a $\boxed{\text{medida preventiva II.}}$
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