Voltar para Materiais
ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 148 • Geometria
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto $P$ do mastro, a uma altura $h$ do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura. 
Os cabos de aço formam um ângulo $\alpha$ com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
• opção I: $h = 11\text{ m}$ e $\alpha = 30^\circ$;
Os cabos de aço formam um ângulo $\alpha$ com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:• opção I: $h = 11\text{ m}$ e $\alpha = 30^\circ$;
• opção II: $h = 12\text{ m}$ e $\alpha = 45^\circ$;
• opção III: $h = 18\text{ m}$ e $\alpha = 60^\circ$.
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
A $\large \frac{22\sqrt{3}}{3}$
B $11\sqrt{2}$
C $12\sqrt{2}$
D $12\sqrt{3}$
E $22$
Resolução
Para determinar a menor medida de cabo, modelamos cada cenário como um triângulo retângulo onde o cabo é a hipotenusa ($L$), a altura do mastro é o cateto oposto ($h$) e $\alpha$ é o ângulo com o solo. Pela relação trigonométrica do seno, temos:$$\sin(\alpha) = \frac{h}{L} \implies L = \frac{h}{\sin(\alpha)}$$Calculamos o comprimento do cabo para cada opção:
• Opção I:$$L_{\text{I}} = \frac{11}{\sin(30^\circ)} = \frac{11}{0,5} = 22\text{ m}$$ • Opção II:$$L_{\text{II}} = \frac{12}{\sin(45^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}\text{ m} \approx 16,97\text{ m}$$ • Opção III:$$L_{\text{III}} = \frac{18}{\sin(60^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}\text{ m} \approx 20,78\text{ m}$$Comparando as medidas obtidas ($12\sqrt{2} < 12\sqrt{3} < 22$), a menor delas corresponds à Opção II.
Portanto, a medida de cada um dos cabos a serem instalados será de $\boxed{12\sqrt{2}}$ metros
• Opção I:$$L_{\text{I}} = \frac{11}{\sin(30^\circ)} = \frac{11}{0,5} = 22\text{ m}$$ • Opção II:$$L_{\text{II}} = \frac{12}{\sin(45^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}\text{ m} \approx 16,97\text{ m}$$ • Opção III:$$L_{\text{III}} = \frac{18}{\sin(60^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}\text{ m} \approx 20,78\text{ m}$$Comparando as medidas obtidas ($12\sqrt{2} < 12\sqrt{3} < 22$), a menor delas corresponds à Opção II.
Portanto, a medida de cada um dos cabos a serem instalados será de $\boxed{12\sqrt{2}}$ metros
MateBásica