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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 146 • Álgebra
O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais. 
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?A Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
B Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
C Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
D Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
E Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
Resolução
Para encontrar as soluções, identificamos primeiro quais trios do conjunto de 1 a 6 podem ocupar os vértices do triângulo formando uma progressão aritmética de razão 2. As únicas sequências possíveis são ${1, 3, 5}$ e ${2, 4, 6}$.
Se posicionarmos ${1, 3, 5}$ nos vértices, a soma desses três termos é 9. Como cada canto pertence a dois lados simultaneamente, somamos esse valor ao total de todos os elementos disponíveis ($1+2+3+4+5+6 = 21$), obtendo um acumulado de 30. Dividindo igualmente pelos três lados do triângulo, a soma de cada lado deve ser $\frac{30}{3} = 10$. Conseguimos essa configuração distribuindo os números restantes nos meios: 6 (entre 1 e 3), 2 (entre 3 e 5) e 4 (entre 5 e 1).
Se adotarmos ${2, 4, 6}$ nos vértices, a soma deles é 12. O acumulado total passa a ser $21 + 12 = 33$, o que resulta em uma soma por lado de $\frac{33}{3} = 11$. Essa disposição é perfeitamente atendida encaixando os elementos ímpares nos meios: 5 (entre 2 e 4), 1 (entre 4 e 6) e 3 (entre 6 e 2).
Portanto, as únicas somas viáveis para os lados do triângulo mágico sob essas condições são $\boxed{\text{duas: 10 e 11.}}$
Se posicionarmos ${1, 3, 5}$ nos vértices, a soma desses três termos é 9. Como cada canto pertence a dois lados simultaneamente, somamos esse valor ao total de todos os elementos disponíveis ($1+2+3+4+5+6 = 21$), obtendo um acumulado de 30. Dividindo igualmente pelos três lados do triângulo, a soma de cada lado deve ser $\frac{30}{3} = 10$. Conseguimos essa configuração distribuindo os números restantes nos meios: 6 (entre 1 e 3), 2 (entre 3 e 5) e 4 (entre 5 e 1).
Se adotarmos ${2, 4, 6}$ nos vértices, a soma deles é 12. O acumulado total passa a ser $21 + 12 = 33$, o que resulta em uma soma por lado de $\frac{33}{3} = 11$. Essa disposição é perfeitamente atendida encaixando os elementos ímpares nos meios: 5 (entre 2 e 4), 1 (entre 4 e 6) e 3 (entre 6 e 2).
Portanto, as únicas somas viáveis para os lados do triângulo mágico sob essas condições são $\boxed{\text{duas: 10 e 11.}}$
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