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ENEM 2023 | Caderno Azul - Matemática
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Questão 138 • Combinatória
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
A 20
B 60
C 64
D 68
E 80
Resolução
Para que o cliente ganhe o voucher, ele precisa retirar uma bolinha preta de cada urna, de modo que a probabilidade de vitória é dada por:$$P(\text{ganhar}) = P(A) \times P(B)$$Como a probabilidade na urna A é fixa em $P(A) = 20\% = 0,2$ e o gerente deseja que a probabilidade final de vitória seja de, no máximo, $1\% = 0,01$, determinamos a nova probabilidade máxima aceitável para a urna B ($P(B_{\text{nova}})$):$$0,2 \times P(B_{\text{nova}}) \le 0,01 \implies P(B_{\text{nova}}) \le \frac{0,01}{0,2} = 0,05 \text{ (ou } 5\%\text{)}$$Inicialmente, a probabilidade de tirar uma bolinha preta na urna B era de $25\%$, e sabemos que nela existem exatamente 4 bolinhas pretas. Com isso, calculamos a quantidade inicial de bolinhas brancas ($W_{\text{inicial}}$):$$\frac{4}{4 + W_{\text{inicial}}} = 0,25 \implies 4 + W_{\text{inicial}} = 16 \implies W_{\text{inicial}} = 12\text{ brancas}$$Se adicionarmos $x$ bolinhas brancas à urna B, a quantidade total de brancas passará a ser $12 + x$, e o total de bolinhas na urna será $16 + x$. Para que a probabilidade seja de no máximo $5\%$, montamos a seguinte relação:$$\frac{4}{16 + x} \le 0,05$$$$ rac{4}{16 + x} \le \frac{1}{20}$$$$16 + x \ge 80 implies x \ge 64$$Portanto, o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B é $\boxed{64.}$
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