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CANGURU DE MATEMÁTICA 2023 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 13 • Geometria
O desenho mostra 3 quadrados cujos lados medem 3cm, 5cm e 8 cm, respectivamente. Qual é a área, em cm², do trapézio cinzento? 
A 13
B $\large \frac{55}{4}$
C $\large \frac{61}{4}$
D $\large \frac{65}{4}$
E $\large \frac{69}{4}$
Resolução
Para resolver este problema, vamos posicionar o desenho em um sistema de coordenadas cartesianas, iniciando na base do primeiro quadrado no ponto $(0, 0)$. Como os quadrados possuem lados de 3 cm, 5 cm e 8 cm, a base total da figura tem $3 + 5 + 8 = 16$ cm. A diagonal liga a origem ao canto superior do último quadrado, situado em $x = 16$ e $y = 8$, resultando em uma inclinação da reta dada pela equação $y = 0,5x$.
O trapézio cinzento encontra-se inteiramente dentro do quadrado central, que ocupa o intervalo de $x = 3$ até $x = 8$ no eixo horizontal. Para encontrar as alturas desse trapézio, calculamos os valores da reta nessas extremidades: no início do quadrado, em $x = 3$, a altura é $y = 0,5 \cdot 3 = 1,5$ cm. No final, em $x = 8$, a altura é $y = 0,5 \cdot 8 = 4$ cm.
Agora, tratamos a área cinzenta como um trapézio cujas bases são 1,5 cm e 4 cm, com uma altura de 5 cm (a largura do quadrado). Aplicando a fórmula da área do trapézio, temos $\large \frac{(1,5 + 4) \cdot 5}{2} = \frac{5,5 \cdot 5}{2} = \frac{27,5}{2}$ $= \boxed{\frac{55}{4}}$
O trapézio cinzento encontra-se inteiramente dentro do quadrado central, que ocupa o intervalo de $x = 3$ até $x = 8$ no eixo horizontal. Para encontrar as alturas desse trapézio, calculamos os valores da reta nessas extremidades: no início do quadrado, em $x = 3$, a altura é $y = 0,5 \cdot 3 = 1,5$ cm. No final, em $x = 8$, a altura é $y = 0,5 \cdot 8 = 4$ cm.
Agora, tratamos a área cinzenta como um trapézio cujas bases são 1,5 cm e 4 cm, com uma altura de 5 cm (a largura do quadrado). Aplicando a fórmula da área do trapézio, temos $\large \frac{(1,5 + 4) \cdot 5}{2} = \frac{5,5 \cdot 5}{2} = \frac{27,5}{2}$ $= \boxed{\frac{55}{4}}$
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