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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 7 • Geometria
Na estrela ao lado, formada por 6 losangos congruentes, de área 5 cm2 cada um, as pontas, quando ligadas, formam um hexágono regular. Qual é a área desse hexágono? 
A 36 cm2
B 40 cm2
C 45 cm2
D 48 cm2
E 60 cm2
Resolução
A estrela é formada por 6 losangos que se encontram no centro da figura. Como uma volta completa tem $360°$, o ângulo de cada losango no centro é de $360° \div 6 = 60°$. Isso nos revela que cada losango é, na verdade, formado por dois triângulos equiláteros idênticos unidos. Sabendo que a área de um losango é $5$, concluímos que a área de cada um desses pequenos triângulos equiláteros internos é $5 \div 2 = 2,5$.
Ao ligarmos as pontas da estrela, o hexágono regular criado engloba a estrela inteira (cuja área total é $6 ⋅ 5 = 30$) e mais 6 espaços vazios em formato de triângulo nas bordas. Pela simetria da figura, o ângulo formado entre dois losangos na borda é de $120°$, o que faz com que cada triângulo externo possua exatamente a mesma área de um dos triângulos equiláteros menores ($2, 5$). Somando a área da estrela com a área desses 6 espaços vazios, temos $30 + (6 ⋅ 2,5) = 45$. A área do hexágono é $\boxed{45 \text{ cm}^2}$.
Ao ligarmos as pontas da estrela, o hexágono regular criado engloba a estrela inteira (cuja área total é $6 ⋅ 5 = 30$) e mais 6 espaços vazios em formato de triângulo nas bordas. Pela simetria da figura, o ângulo formado entre dois losangos na borda é de $120°$, o que faz com que cada triângulo externo possua exatamente a mesma área de um dos triângulos equiláteros menores ($2, 5$). Somando a área da estrela com a área desses 6 espaços vazios, temos $30 + (6 ⋅ 2,5) = 45$. A área do hexágono é $\boxed{45 \text{ cm}^2}$.
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