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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 26 • Aritmética
Os números a e b são quadrados de números inteiros. A diferença a - b é um número primo. Qual dos números a seguir pode ser o número b?
A 100
B 144
C 256
D 900
E 10 000
Resolução
Para resolver de forma direta, representamos os quadrados como $a=x^2$ e $b=y^2$. A diferença entre eles pode ser fatorada como uma diferença de dois quadrados: $a-b = x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
Como o resultado dessa diferença é um número primo, ele só possui como divisores o número 1 e ele mesmo. Portanto, o menor fator obrigatoriamente vale 1, o que nos dá $x-y=1$, ou seja, $x=y+1$. Substituindo isso no outro fator, a soma $(y+1)+y = 2y+1$ deve ser um número primo.
Sabendo que $b=y^2$, testamos os quadrados perfeitos das alternativas da prova para achar $y$ e verificar o primo $2y+1$. Se $b=900$, temos $y=30$. Aplicando na fórmula, obtemos $2(30)+1 = 61$, que é um número primo, confirmando que $\boxed{900}$ é a resposta correta.
Como o resultado dessa diferença é um número primo, ele só possui como divisores o número 1 e ele mesmo. Portanto, o menor fator obrigatoriamente vale 1, o que nos dá $x-y=1$, ou seja, $x=y+1$. Substituindo isso no outro fator, a soma $(y+1)+y = 2y+1$ deve ser um número primo.
Sabendo que $b=y^2$, testamos os quadrados perfeitos das alternativas da prova para achar $y$ e verificar o primo $2y+1$. Se $b=900$, temos $y=30$. Aplicando na fórmula, obtemos $2(30)+1 = 61$, que é um número primo, confirmando que $\boxed{900}$ é a resposta correta.
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