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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 21 • Geometria
Uma formiguinha sobe a rampa CA e desce de A até B pela escada, como mostra a figura. Qual é a razão entre o comprimento do caminho de subida e o comprimento do caminho de descida, nessa ordem? 
A $1$
B $\Large \frac{1}{2}$
C $\Large \frac{1}{3}$
D $\Large \frac{\sqrt{2}}{2}$
E $\Large \frac{\sqrt{3}}{2}$
Resolução
No triângulo maior, o ângulo no vértice B mede 45°, pois 180° - 75° - 60° = 45°. Se traçarmos a altura de A até a base BC, tocando-a no ponto H, o comprimento total da escada na descida corresponderá exatamente à soma de todos os degraus verticais e horizontais, ou seja, a soma das distâncias $AH + HB$.
No triângulo retângulo AHC, usando o seno de 60°, encontramos que a altura vale $AH = AC \cdot \large \frac{\sqrt{3}}{2}$. Como o triângulo AHB possui um ângulo de 45°, ele é isósceles, o que significa que o segmento $HB$ tem a mesma medida de $AH$. Portanto, o caminho total de descida é igual a $2 ⋅ AH$, simplificando para $AC\sqrt{3}$.
Por fim, a razão entre a subida e a descida é montada através da fração $\large\frac{AC}{AC\sqrt{3}}$. Eliminando o termo AC comum ao numerador e ao denominador e racionalizando o resultado, encontramos a resposta final igual a $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
No triângulo retângulo AHC, usando o seno de 60°, encontramos que a altura vale $AH = AC \cdot \large \frac{\sqrt{3}}{2}$. Como o triângulo AHB possui um ângulo de 45°, ele é isósceles, o que significa que o segmento $HB$ tem a mesma medida de $AH$. Portanto, o caminho total de descida é igual a $2 ⋅ AH$, simplificando para $AC\sqrt{3}$.
Por fim, a razão entre a subida e a descida é montada através da fração $\large\frac{AC}{AC\sqrt{3}}$. Eliminando o termo AC comum ao numerador e ao denominador e racionalizando o resultado, encontramos a resposta final igual a $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
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