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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 27 • Combinatória
Na tabela 4 x 4 ao lado, algumas casas devem ser pintadas de preto. Os números à direita e abaixo da tabela indicam os números de casas das linhas e colunas correspondentes que devem ser pintadas. De quantas maneiras diferentes a tabela pode ser pintada? 
A 1
B 2
C 3
D 5
E mais de 5
Resolução
Como a segunda linha e a segunda coluna possuem total igual a 0, todas as suas casas devem obrigatoriamente ficar em branco (sem pintar). Podemos, portanto, desconsiderá-las e analisar a subtabela restante de tamanho $3 ⋅ 3$.
Essa subtabela é formada pelas linhas com exigências de (2, 2, 1) casas pintadas e pelas colunas com exigências de (2, 2, 1) casas pintadas. Para encontrar a quantidade de maneiras de pintá-la, podemos analisar as três possibilidades de preenchimento para a última linha (que precisa de exatamente 1 casa pintada):
Se pintarmos a primeira casa dessa linha, as duas linhas de cima devem se organizar para completar as exigências das colunas, o que gera exatamente 2 combinações válidas. De forma idêntica, se pintarmos a segunda casa dessa linha, teremos outras 2 combinações válidas. Por fim, se pintarmos a terceira casa dessa linha, as linhas de cima ficam com apenas 1 configuração possível para satisfazer o restante da tabela.
Somando todas as possibilidades encontradas ($2 + 2 + 1$), obtemos o total de configurações permitidas pelas regras. Portanto, a tabela pode ser pintada de $\boxed{\text{5 maneiras diferentes}}$.
Essa subtabela é formada pelas linhas com exigências de (2, 2, 1) casas pintadas e pelas colunas com exigências de (2, 2, 1) casas pintadas. Para encontrar a quantidade de maneiras de pintá-la, podemos analisar as três possibilidades de preenchimento para a última linha (que precisa de exatamente 1 casa pintada):
Se pintarmos a primeira casa dessa linha, as duas linhas de cima devem se organizar para completar as exigências das colunas, o que gera exatamente 2 combinações válidas. De forma idêntica, se pintarmos a segunda casa dessa linha, teremos outras 2 combinações válidas. Por fim, se pintarmos a terceira casa dessa linha, as linhas de cima ficam com apenas 1 configuração possível para satisfazer o restante da tabela.
Somando todas as possibilidades encontradas ($2 + 2 + 1$), obtemos o total de configurações permitidas pelas regras. Portanto, a tabela pode ser pintada de $\boxed{\text{5 maneiras diferentes}}$.
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