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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 30 • Geometria
Um buraco na forma de metade de uma esfera é escavado em cada uma das faces de um cubo. Os buracos são idênticos e centralizados em cada face. Cada buraco toca cada um dos buracos vizinhos em somente um ponto. Se o cubo tem lado 2, qual é o diâmetro de cada buraco? 
A $1$
B $2$
C $\sqrt{2}$
D $\Large \frac{3}{2}$
E $\large \sqrt{\Large\frac{3}{2}}$
Resolução
Para resolver este problema, vamos posicionar o cubo em um sistema de coordenadas cartesianas onde seu centro está na origem $(0, 0, 0)$. Como o cubo possui lado 2, suas faces estão a uma distância de 1 unidade do centro. Dessa forma, podemos definir o centro de duas faces adjacentes, como a face lateral e a face superior, nos pontos $C_1 = (1, 0, 0)$ e $C_2 = (0, 0, 1)$.
Os buracos são hemisférios idênticos com um raio $r$. Para que duas esferas vizinhas se toquem em exatamente um ponto, a distância entre os centros dessas esferas deve ser igual à soma de seus raios, que é $r + r = 2r$. Utilizando a fórmula da distância entre os pontos $C_1$ e $C_2$, calculamos
$d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
Como o diâmetro de cada buraco é igual a $2r$, e a distância entre os centros das esferas deve ser igual a esse diâmetro para que elas se toquem, igualamos $2r = \boxed{\sqrt{2}}$. Portanto, o diâmetro de cada buraco é $\boxed{\sqrt{2}}$.
Os buracos são hemisférios idênticos com um raio $r$. Para que duas esferas vizinhas se toquem em exatamente um ponto, a distância entre os centros dessas esferas deve ser igual à soma de seus raios, que é $r + r = 2r$. Utilizando a fórmula da distância entre os pontos $C_1$ e $C_2$, calculamos
$d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
Como o diâmetro de cada buraco é igual a $2r$, e a distância entre os centros das esferas deve ser igual a esse diâmetro para que elas se toquem, igualamos $2r = \boxed{\sqrt{2}}$. Portanto, o diâmetro de cada buraco é $\boxed{\sqrt{2}}$.
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