CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)

Para resolver a questão, vamos nomear as medidas dos lados dos 12 retângulos menores iguais: chamaremos o lado menor de $x$ e o lado maior de $y$. Observando o topo da figura, vemos que o lado $DC$ é formado por três lados maiores dos retângulos dispostos horizontalmente, o que nos dá $DC = 3y$. Na base inferior, o lado $AB$ é composto pela largura de uma coluna à esquerda, o comprimento de uma coluna no centro e a largura de duas colunas à direita. Somando essas medidas, temos $AB = x + y + 2x = 3x + y$.

Como as medidas dos lados opostos de um retângulo são iguais, sabemos que $DC = AB$. Igualando as duas expressões, obtemos a equação $3y = 3x + y$, que pode ser simplificada para $2y = 3x$, resultando na relação $y = \large \frac{3}{2}x$. Agora precisamos determinar a altura $AD$ da figura. Olhando para a lateral esquerda, notamos que a altura total é formada pela largura do retângulo no topo somada ao comprimento de dois retângulos dispostos verticalmente, o que nos dá $AD = x + 2y$

Substituindo o valor de $y$ na equação da altura, calculamos que $AD = x + 2{\large\left(\frac{3}{2}x\right)} = 4x$. O mesmo pode ser feito para o lado superior, resultando em $DC = 3 \large \left(\frac{3}{2}\normalsize x\right) = \large \frac{9}{2}x$. Por fim, para encontrar a razão $\large \frac{AD}{DC}$, basta dividirmos os dois valores encontrados em função de $x$. O cálculo fica $\large \frac{4x}{\frac{9}{2}x}$. Ao mantermos a primeira fração e multiplicarmos pelo inverso da segunda: $$\frac{8x}{9x} = \boxed{\frac{8}{9}}$$.