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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 25 • Combinatória
Os habitantes de uma cidade sempre se comunicam fazendo perguntas. Há dois tipos de habitantes: os positivos, que fazem perguntas cuja resposta é sempre "sim", e os negativos, que fazem perguntas cuja resposta é sempre "não". Passeando pela cidade eu encontrei Alberto e Berta, quando ela me perguntou: "Eu e Alberto somos ambos negativos?". Que tipo de habitantes são Alberto e Berta?
A Ambos positivos
B Ambos negativos
C Alberto positivo, Berta negativa
D Alberto negativo, Berta positiva
E Não há informação suficiente para uma conclusão
Resolução
Testemos as duas possibilidades para o comportamento de Berta. Se ela fosse uma habitante do tipo positivo, a resposta para a sua pergunta deveria ser obrigatoriamente afirmativa. Isso significaria que a condição de ambos serem negativos seria verdadeira, tornando a própria Berta negativa. Como ela não pode ser positiva e negativa ao mesmo tempo, essa hipótese inicial gera uma contradição evidente e deve ser descartada.
Sabendo que a primeira opção falhou, concluímos com segurança que Berta é uma habitante do tipo negativo. Por conta de sua natureza, a resposta para a pergunta que ela fez deve ser obrigatoriamente negativa. Isso quer dizer que a declaração de que ela e Alberto são ambos negativos não corresponde à realidade do cenário.
Como já definimos que Berta possui perfil negativo, a única maneira de a declaração conjunta ser falsa é se Alberto não for igual a ela. Se ele também fosse negativo, a premissa inteira seria verdadeira, o que violaria a regra fundamental das perguntas de Berta. Portanto, deduzimos que $\boxed{\text{Berta é do tipo negativo e Alberto é do tipo positivo.}}$
Sabendo que a primeira opção falhou, concluímos com segurança que Berta é uma habitante do tipo negativo. Por conta de sua natureza, a resposta para a pergunta que ela fez deve ser obrigatoriamente negativa. Isso quer dizer que a declaração de que ela e Alberto são ambos negativos não corresponde à realidade do cenário.
Como já definimos que Berta possui perfil negativo, a única maneira de a declaração conjunta ser falsa é se Alberto não for igual a ela. Se ele também fosse negativo, a premissa inteira seria verdadeira, o que violaria a regra fundamental das perguntas de Berta. Portanto, deduzimos que $\boxed{\text{Berta é do tipo negativo e Alberto é do tipo positivo.}}$
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