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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 24 • Combinatória
Os quadrados nas faces de um cubo 2 x 2 x 2 têm um círculo, um quadrado ou um sinal de ✕ cada um. Quadrados com um lado comum têm desenhos diferentes. A figura ao lado mostra uma possibilidade dessas composições para o cubo. Qual das seguintes composições também é possível? 
A 6 círculos, 8 quadrados e o resto com ✕
B 7 círculos, 8 quadrados e o resto com ✕
C 5 círculos, 8 quadrados e o resto com ✕
D 7 círculos, 7 quadrados e o resto com ✕
E Nenhuma das anteriores
Resolução
Um cubo $2 \times 2 \times 2$ possui 6 faces divididas em 4 quadrados cada, totalizando 24 quadrados.
O cubo tem 8 vértices (cantos). Em cada um desses cantos, encontram-se exatamente 3 quadrados que compartilham arestas entre si. Como a regra exige que quadrados vizinhos tenham símbolos diferentes e há exatamente 3 desenhos disponíveis (Círculo, Quadrado e X), cada canto precisa ter obrigatoriamente 1 símbolo de cada.
Como os 24 quadrados da superfície se agrupam perfeitamente nesses 8 cantos isolados, a composição total obrigatória para o cubo é de $8 \cdot 1 =$ 8 Círculos, 8 Quadrados e 8 sinais de X.
Nenhuma das alternativas (A, B, C ou D) apresenta essa contagem exata (todas propõem quantidades diferentes de 8 para os círculos). Portanto, a resposta correta é a $\boxed{\text{Alternativa E (Nenhuma das anteriores).}}$
O cubo tem 8 vértices (cantos). Em cada um desses cantos, encontram-se exatamente 3 quadrados que compartilham arestas entre si. Como a regra exige que quadrados vizinhos tenham símbolos diferentes e há exatamente 3 desenhos disponíveis (Círculo, Quadrado e X), cada canto precisa ter obrigatoriamente 1 símbolo de cada.
Como os 24 quadrados da superfície se agrupam perfeitamente nesses 8 cantos isolados, a composição total obrigatória para o cubo é de $8 \cdot 1 =$ 8 Círculos, 8 Quadrados e 8 sinais de X.
Nenhuma das alternativas (A, B, C ou D) apresenta essa contagem exata (todas propõem quantidades diferentes de 8 para os círculos). Portanto, a resposta correta é a $\boxed{\text{Alternativa E (Nenhuma das anteriores).}}$
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